Niveau maths sup

Démonstration dérivée d'énergie potentielle

Posté par
Olav3 14-03-15 à 20:46

Bonsoir

Il y a une démonstration de cours que je ne comprends pas, c'est celle de la relation suivante :

$F(r)=\frac{-dE_p}{dr}$

Voici la démonstration proposée par mon prof :

$\delta W_{\vec{F}} = -dE_p$
$\delta W_{\vec{F}} = \vec{F}.d\vec{OM}$

En utilisant les coordonnées sphériques :
$\delta W_{\vec{F}} = F(r) \vec{e_r} . (dr.\vec{e_r} + r.d\vec{e_r})$

Comme $\vec{e_r}^2 = 1$ , on a :
$\delta W_{\vec{F}} = F(r).dr + F(r).r.\vec{e_r}.d\vec{e_r}$

Or $\frac{\vec{e_r}^2}{dt} = 0$       $2\vec{e_r}.\frac{\vec{e_r}}{dt} = 0$      $\vec{e_r}.d\vec{e_r} = 0$

d'ou : $\delta W_{\vec{F}} =  F(r).dr = -dE_p$    (car la force est convervative)
Soit : $F(r)=\frac{-dE_p}{dr}$

Il y a pas mal de chose que je ne comprends pas :

1)  Qu'est ce que la différence entre $\delta$ devant le travail et "d" devant $\vec{OM}$
2) Comment il passe de $2\vec{e_r}.\frac{\vec{e_r}}{dt} = 0$    à   $\vec{e_r}.d\vec{e_r} = 0$   ?
3) Pourquoi la force est t-elle conservative ?

Merci de vos réponses !!

Posté par re : Démonstration dérivée d'énergie potentielle 15-03-15 à 08:53

bonjour,

on note W car a priori W n'est pas une fonction des coordonnées (c'est une simple forme différentielle)
la notation d. est réservée aux différentielles exactes par ex. df, dv, dOM où f, v, OM sont bien des fonctions des coordonnées (ici r)

si e_r²= 1 alors en dérivant on trouve:
2 e_r d(e_r)/dt = 0
donc e_r d(e_r) = 0 ( car dt >0)

F est conservative car on a trouvé une fonction Ep(r) ne dépendant que de la position et telle que: W = -dEp

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