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Démonstration capacité calorifique

Posté par
crabenfolie 10-04-17 à 19:07

Bonjour , voici mon problème je dois démontrer cette formule pour l'expression de la capacité calorifique:
$C_v=-T(\frac{\partial ² F}{\partial T²})_v$

où F est l'énergie libre d'un système $F=-kTln(Z)=-\frac{ln(Z)}{\beta }$
avec Z la fonction de partition et $\beta =\frac{1}{kT}$ , k la constante de Boltzmann.

Je sais également que : $<E>=-\frac{\partial ln(Z)}{\partial \beta }$

Je n'arrive pas à trouver la bonne formule, voici comment je procède:

je commence par rappeler la définition de la capacité calorifique:

$C_v=(\frac{\partial <E>}{\partial T})_v$

Donc :
$C_v=\frac{\partial }{\partial T}(-\frac{\partial ln(Z)}{\partial \beta })=\frac{\partial }{\partial T}(\frac{-\partial \beta \frac{ln(Z)}{\beta }}{\partial \beta }) \\ \\ \Leftrightarrow C_v=\frac{\partial }{\partial T}(\frac{\partial (\beta F))}{\partial \beta })=\frac{\partial }{\partial T}(F+\beta \frac{\partial F}{\partial \beta }) \\ \\ \Leftrightarrow C_v=\frac{\partial F }{\partial T}+\frac{\partial \beta }{\partial T}\frac{\partial F}{\partial \beta }+\beta \frac{\partial ²F}{\partial \beta \partial T}=2\frac{\partial F}{\partial T}+\beta \frac{\partial² F }{\partial \beta \partial T} \\ \\ \Leftrightarrow C_v=2\frac{\partial F}{\partial T}+\beta \frac{\partial }{\partial \beta }(\frac{\partial F}{\partial T})=2\frac{\partial F}{\partial T}+\beta (-\frac{1}{k\beta ²})\frac{\partial }{\partial T}(\frac{\partial F}{\partial T}) \\ \\ car \frac{\partial T}{\partial \beta }=-\frac{1}{k\beta ²} \\ \\ \Leftrightarrow 2\frac{\partial F}{\partial T}-\frac{1}{k\beta }\frac{\partial ²F}{\partial T²}=2\frac{\partial F}{\partial T}-T(\frac{\partial² F}{\partial T²})$

Je ne comprends pas d'où vient mon problème du $2(\frac{\partial F}{\partial T})$ si quelqu'un aurait une idée?
En vous remerciant par avance de votre aide.

Posté par re : Démonstration capacité calorifique 10-04-17 à 19:56

Bonjour

Je commence comme toi mais je remplace tout de suite ln(Z) par $-F.\beta$ :

$C_{v}=\frac{\partial}{\partial T}\left[\frac{\partial}{\partial\beta}\left(F.\beta\right)\right]=\frac{\partial}{\partial T}\left[F+\beta.\frac{\partial F}{\partial\beta}\right]=\frac{\partial}{\partial T}\left[F+\frac{1}{k.T}.\frac{\partial F}{\partial T}.\frac{\partial T}{\partial\beta}\right]$

$\frac{\partial T}{\partial\beta}=\frac{\partial}{\partial\beta}\left(\frac{1}{k.\beta}\right)=-\frac{1}{k.\beta^{2}}=-k.T^{2}$

$C_{v}=\frac{\partial}{\partial T}\left[F-T.\frac{\partial F}{\partial T}\right]=-T.\frac{\partial^{2}F}{\partial T^{2}}$

Posté par re : Démonstration capacité calorifique 10-04-17 à 21:06

Bonjour merci, en effet c'est plus efficace. Cependant aurais-tu une idée sur l'origine de mon erreur?

Posté par re : Démonstration capacité calorifique 10-04-17 à 21:23

En fait je viens peut-être d'avoir une idée sur l'origine de mon erreur elle est un epu technique mais je pense que cela vient du fait que le commutateur:
$[\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial x }{\partial }]=-[\frac{\partial x }{\partial },\frac{\partial }{\partial x} ]$
et du coup un signe - apparaît et le terme $2(\frac{\partial F }{\partial T})$ disparaît.

Cependant j'aimerais connaître ton avis sur la question?

Posté par re : Démonstration capacité calorifique 10-04-17 à 23:45

Tes deux premières lignes sous le “Donc” sont équivalentes à ma première égalité (joli raccourci ). Ta troisième ligne est correcte pour les deux premiers termes mais pas pour la suite :

$C_{v}=2\frac{\partial F}{\partial T}+\beta.\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{\partial F}{\partial\beta}\right)=2\frac{\partial F}{\partial T}+\beta.\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{\partial F}{\partial T}.\frac{\partial T}{\partial\beta}\right)$

$C_{v}=2\frac{\partial F}{\partial T}+\frac{1}{k.T}\cdot\frac{\partial}{\partial T}\left(-k.T^{2}\cdot\frac{\partial F}{\partial T}\right)=-T.\frac{\partial^{2}F}{\partial T^{2}}$

Posté par re : Démonstration capacité calorifique 11-04-17 à 19:59

D'accord, merci beaucoup .

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