Niveau licence

Dans un champ magnétique

Posté par
nico10310 11-04-17 à 15:55

Bonjour,
J'aimerais avoir de l'aide sur cet exercice :

Une particule A de masse m et de charge q>0 a un mouvement rectiligne uniforme (suivant Ox) par rapport à un référentiel galiléen R muni d'un repère orthonormé direct R(O, ex, ey, ez). La particule pénètre dans une région d'espace où règne un champ magnétique $\vec{B}=B_0\vec{e_y}$ statique et uniforme. A l'instant t=0, la particule est en O et possède le vecteur vitesse : $\vec{v}_{A/R}(t=0)=v_0\vec{e_x}$
Le poids est négligeable

1) Établir les équations différentielles de la trajectoire
2) Donner l'équation de la trajectoire
3) Calculer le temps mis pour effectuer une circonférence.

J'ai donc trouver $\sum{\vec{F_{ext}}}=m\vec{a}=B_0\vec{e_x}$
après intégrations, $\vec{OA}(t)=v_0t\vec{e_x}+\frac{B_0t^2}{2m}\vec{e_y}$

L'équation de la trajectoire est $y(x)=\frac{B_0}{2mv_0^2}x^2$
Est-ce juste ?
Je ne comprends pas la dernière question puisque la trajectoire est une parabole ?

Merci

Posté par re : Dans un champ magnétique 11-04-17 à 17:24

Bonjour

Citation :
Je ne comprends pas la dernière question puisque la trajectoire est une parabole ?

Non ! Le mouvement est circulaire uniforme. Il faut partir de l'expression de la force de Lorentz appliquée à une particule chargée en négligeant le poids devant cette force...
Tu as ensuite deux méthodes possibles :
1° : projeter cette relation dans la base de Frénet : méthode la plus simple à mon avis ; elle était utilisée en terminale il y a quelques années...
2° : projeter dans le repère galiléen (Ox,y,z)... Un peu plus compliqué à mon avis mais tout dépend de tes habitudes et de tes connaissances en mécanique...

Posté par re : Dans un champ magnétique 13-04-17 à 16:02

D'accord merci

Donc on a $\sum{\vec{F_{ext}}}=m\vec{a}=q\vec{v}\wedge \vec{B}=qv_0\vec{e_x}\wedge B_0\vec{e_y}$

Donc en appliquant le produit vectoriel, on a $\vec{a}=\frac{qv_0B_0}{m}\vec{e_z}$ et en intégrant on trouve $\vec{OA}=v_0t\vec{e_x}+\frac{qv_0B_0}{2m}t^2\vec{e_z}$ ??
Ce n'est pas une trajectoire circulaire :'(
Merci de m'aider

Posté par re : Dans un champ magnétique 13-04-17 à 17:16

En posant :

$\overrightarrow{v}=v_{0}\cdot\overrightarrow{e_{x}}$
tu admets d'entrée que le mouvement est rectiligne uniforme ! Quelques lignes plus loin, tu le trouves parabolique ! Tout cela est incohérent. De plus, la puissance instantanée de la force de Lorentz s'écrit dans le cas général :

$p=\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{v}=q.\left(\overrightarrow{v}\wedge\overrightarrow{B}\right).\overrightarrow{v}=0\;\forall t$
En effet : le produit mixte fait intervenir deux vecteurs identiques. Dans ces conditions, la force de Lorentz peut modifier la direction et le sens du vecteur vitesse mais pas sa norme . La norme du vecteur vitesse reste fixe, ce qui ne serait pas le cas d'un mouvement parabolique !
Je te proposes la méthode autrefois utilisée en terminale ; je suppose que tu connais les propriétés du produit vectoriel et l'expression de l'accélération dans la base de Frénet (tu postes au niveau licence...).
étape n° 1 : démontrer que le mouvement est plan. Facile : la RFD conduit à une accélération de vecteur :

$\overrightarrow{a}=\frac{q}{m}.\overrightarrow{v}\wedge\overrightarrow{B}$
Ce vecteur est à chaque instant perpendiculaire au vecteur B. Il n'a pas de composante selon y. Sa vitesse selon y est constante. Cette constante vaut 0 en absence de vitesse initiale selon y . Conséquence : la trajectoire appartient au plan (Oxz).
étape n° 2 : démontrer que le mouvement est uniforme. Je viens de le faire en raisonnant sur la puissance de la force de Lorentz. On peut aussi le faire en considérant les propriétés du produit vectoriel donnant l'accélération. Ce vecteur est à chaque instant perpendiculaire au vecteur vitesse. L'accélération tangentielle est constamment nulle. Or, dans la base de Frénet, cette accélération tangentielle a pour expression :

$\overrightarrow{a_{t}}=\frac{d\Vert\overrightarrow{v}\Vert}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{t}}$
Cela implique :

$\frac{d\Vert\overrightarrow{v}\Vert}{dt}=0\quad;\quad\Vert\overrightarrow{v}\Vert=v_{0}\;\text{(constante)}$
étape n° 3 : démontrer que le mouvement est circulaire uniforme. L'accélération est donc uniquement l'accélération normale centripète d'expression générale :

$\overrightarrow{a_{n}}=\frac{v^{2}}{\rho}\cdot\overrightarrow{u_{n}}$
où est le rayon de courbure de la trajectoire.
Puisque nous avons déjà démontré que le vecteur vitesse et le vecteur B sont perpendiculaires et que v = v_o, l'identification des deux expressions de l'accélération conduit à :

$\frac{v_{0}^{2}}{\rho}=\frac{q}{m}\cdot v_{0}\cdot B\quad soit\quad\rho=\frac{m.v_{0}}{q.B}$
Le rayon de courbure est une constante, le mouvement est circulaire.
Conclusion :
Le mouvement est circulaire uniforme ; le rayon de la trajectoire est :

$R=\frac{m.v_{0}}{q.B}$
Si la charge était négative, il faudrait prendre la précaution d'une valeur absolue de la charge.
Compte tenu des conditions initiales, je te laisse déterminer les coordonnées cartésiennes du centre de la trajectoire et l'équation cartésienne de la trajectoire...
La suite est facile...