Niveau master

Couche Limite Atmosphérique

Posté par
cercus 24-09-19 à 19:33

Bonjour, m'exerçant sur des annales de concours pour entrer à l'Ecole Nationale de la Météorologie, je bloque  sur une des questions. Voici l'énoncé et les questions :

L'équation d'évolution de la concentration C(x, y, z, t) d'un gaz dans la couche limite atmosphérique s'écrit $\frac{dC}{dt} = -\eta C + \nu \Delta C$ (eq 1) où _c est le coefficient de diffusion moléculaire du gaz et caractérise le taux de disparition des molécules de gaz. Ces deux coefficients sont positifs. On rappelle que dans le système de Boussinesq, div( $\overrightarrow{U}) = 0$ avec   $\overrightarrow{U}$ la vitesse du vent.

1/ Etablir l'équation d'évolution de la concentration moyenne $\bar{C}$

2/ En supposant une atmosphère homogène horizontalement, simplifier l'équation en 1)

3/ Identifier les flux turbulants et proposer une fermeture du premier ordre

4/ Trouver et réoudre l'équation différentielle dont $\bar{C}$ est solution.

Ce que j'ai fais :

1/ Pour simplifier, je suis passé en notation indicielle.

Pour commencer, on s'occupe du terme de gauche
On a $\frac{dC}{dt} = \frac{\partial C}{\partial t} + u_i \frac{\partial C}{\partial x_i}$   et on pose $C = \bar{C} + C'$ et $u_i = \bar{u}_i + u_{i}'$

$\bar{\frac{d(\bar{C}+C')}{dt}} =\bar{ \frac{\partial (\bar{C}+C')}{\partial t}} + \bar{(\bar{u_i} + u_{i}') \frac{\partial (\bar{C}+C')}{\partial x_i}} = \bar{\frac{ \partial \bar{C}}{\partial t}} + \bar{\frac{ \partial C'}{\partial t}} + \bar{\bar{u_i}\frac{ \partial \bar{C}}{\partial x_i}} + \bar{\bar{u_i}\frac{ \partial C'}{\partial x_i}} + \bar{u_{i}'\frac{ \partial \bar{C}}{\partial x_i}} + \bar{u_{i}'\frac{ \partial C'}{\partial x_i}}$

Et en utilisant les axiomes de Reynolds, on obtient :

$\bar{\frac{d(\bar{C}+C')}{dt}} = \frac{\partial \bar{C}}{\partial t} + \bar{u_i}\frac{\partial \bar{C}}{\partial x_i} + \frac{\partial \bar{C'u_{i}'}}{\partial x_i}$

Donc (eq 1) peut s'ecrire : $\frac{\partial \bar{C}}{\partial t} + \bar{u_i}\frac{\partial \bar{C}}{\partial x_i} + \frac{\partial \bar{C'u_{i}'}}{\partial x_i} = -\eta\bar{C} + \nu_c \frac{\partial^2 \bar{C}}{\partial x_i \partial x_i}$

2/ On a $\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial y} = 0$ , on obtient donc $\frac{\partial \bar{C}}{\partial t} + \bar{w}\frac{\partial \bar{C}}{\partial z} + \frac{\partial \bar{(C'w')}}{\partial z} = -\eta \bar{C} + \nu_c \frac{\partial^2 \bar{C}}{\partial x_i \partial x_i}$

3/ Le flux turbulant correspond au terme $\frac{\partial \bar{(C'w')}}{\partial z}$ . On peut fermer le problème en posant que $\bar{C'w'} = -K_c \frac{\partial \bar{C}}{\partial z}$ donc on obtient l'équation différentielle : $\frac{\partial \bar{C}}{\partial t} + \bar{w} \frac{\partial \bar{C}}{\partial z} -K_c \frac{\partial^2 \bar{C}}{\partial z^2} = - \eta \bar{C} + \nu_c \frac{\partial^2 \bar{C}}{\partial z^2}$

4/ Je ne sais pas résoudre cette équation différentielle sauf si on enlève le terme $\frac{\partial \bar{C}}{\partial t}$ mais cela n'est marqué nul part dans l'énoncé...

Posté par re : Couche Limite Atmosphérique 24-09-19 à 23:24

Bonsoir
Je ne suis pas du tout spécialiste de ce genre de problème. Il me parait très probable que l'utilisation de l'approximation des régimes quasi stationnaires soit légitime ici, ce qui te permettrait de poser $\frac{\partial \bar{C}}{\partial t} =0$ .
Les phénomènes que tu étudies sont a priori relativement lents et le fait de poser $div(\overrightarrow{U}) = 0$ à chaque instant semble légitimer cette approximation puisque cette égalité suppose : $\frac{\partial \rho}{\partial t} =0$ à chaque instant.
Remarque : la loi concernant la variation de concentration par diffusion (loi de Fick) fait intervenir un gradient et non un Laplacien me semble-t-il...

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