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Coordonnées intrinsèques

Posté par
Ultimeuh 06-02-16 à 18:04

Bonjour, j'ai un exercice que je dois faire sur les coordonnées intrinsèques et je voudrais savoir si quelqu'un pourrait me dire si ce que j'ai fais est bon et m'aider pour les dernières question s'il vous plaît ?
J'ai rédigé l'énoncer ci-dessous avec mes réponses.
Merci d'avance à ceux qui prendront le temps de m'aider !


Un point A se déplace dans le plan sur une parabole y = \frac{1}{2}\alphax²  . L'abcisse x est donnée par v0t . Le sens positif du déplacement est choisi vers les x croissants.

1) Déterminer les composantes de la vitesse \vec{v} en coordonnées cartésiennes.
2) Déterminer \vec{v} à t=0.
3) Déterminer les composantes de l'accélération \vec{a} en coordonnées cartésiennes.
4) Déterminer l'accélération \vec{a} en coordonnées cartésiennes à t=0.
5) En déduire le rayon de coubure de la parabole en x=0.
6)Pourquoi ne dépend-il pas de v0 ?


Mes réponses :

1) y =  \frac{1}{2}\alpha (v0t)²
Donc on dérive x et y (position) pour avoir la vitesse :
\vec{v}= v0\vec{i}  +  (\alpha v0²t) \vec{j}

2) \vec{v}(0) = v0 \vec{i}

3) On dérive la vitesse :
\vec{a} = \alpha v0² \vec{j}

4) Pareil

Posté par
vanoisere : Coordonnées intrinsèques 06-02-16 à 18:23

Bonjour,
Pour l'instant, tout est bon !
Il te reste le plus difficile : le rayon de courbure !

Posté par
vanoisere : Coordonnées intrinsèques 06-02-16 à 18:32

Un peu d'aide pour le rayon de courbure. Dans le cas général, l'accélération s'écrit :

\overrightarrow{a}=\frac{v^{2}}{R}\overrightarrow{u_{N}}+\frac{dv}{dt}\overrightarrow{u_{T}}
uN et uT étant respectivement un vecteur unitaire normal centripète et un vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement. R est le rayon de courbure.
Tu n'as plus qu'à appliquer cette relation au cas particulier t = 0 et à identifier avec tes résultats précédents.

Posté par
Ultimeuhre : Coordonnées intrinsèques 06-02-16 à 19:06

On a  \vec{Ut} = \vec{i}  et  \vec{Un} = \vec{j}
Or l'accélération est nul pour \vec{i}  donc on ne s'interesse que à \vec{Un}.

On a donc : \vec{a} =  \frac{v²}{R}
On remplace et on isole le R et on trouve : R = \alpha v0² t²

C'est bon ça ?

Posté par
Ultimeuhre : Coordonnées intrinsèques 06-02-16 à 19:07

Je pense que c'est faux ce que j'ai écrit

Posté par
vanoisere : Coordonnées intrinsèques 06-02-16 à 19:40

En tous cas, la méthode est bonne mais il me semble que tu as commis une erreur de calcul : puisque nous sommes en t = 0, ton calcul conduit à R = 0. Que vaut la vitesse en t = 0 ?

Posté par
Ultimeuhre : Coordonnées intrinsèques 07-02-16 à 00:22

En t=0 la vitesse vaut : \vec{v}(0) = v0 \vec{i}

Posté par
Ultimeuhre : Coordonnées intrinsèques 07-02-16 à 00:34

On a donc \vec{a} = \frac{v²}{R}

                        \alphav0² = \frac{(\alpha v0² t)²}{R}
                  
                        R = \alphav0²t²


Il est où l'erreur ?

Posté par
Ultimeuhre : Coordonnées intrinsèques 07-02-16 à 01:02

Ah je pense savoir ! On a \vec{v} = v0\vec{i} + (\alpha v0² t) \vec{j}

Or à x=0,  il faut prendre \vec{v} = 0 et ici on prend que (\alpha v0² t) \vec{j}
Donc à t=0, \vec{v} = 0 et donc R = 0 .

C'est bien ça ?

Posté par
vanoisere : Coordonnées intrinsèques 07-02-16 à 10:15

Bonjour,
Tu sembles avoir très bien compris les choses difficiles mais tu commets une grosse étourderie :

Citation :
Ah je pense savoir ! On a \vec{v} = v0\vec{i} + (\alpha v0² t) \vec{j}

Tout à fait d'accord ! mais à t = 0, ta relation précédente conduit à :

\vec{v} = v_0\vec{i}  
Puisque, comme tu l'as déjà dit, à t = 0 : \vec{u_N}=\vec{j} ;
à t = 0 : a=\frac{v_{0}^2}{R}=\alpha \cdot v_{0}^2}
D'où :

\boxed{R=\frac{1}{\alpha}}
On peut vérifier l'homogénéité : l'équation de la trajectoire : y=\frac{1}{2}\cdot \alpha\cdot x^2 montre que a pour dimension l'inverse d'une longueur.

Posté par
Ultimeuhre : Coordonnées intrinsèques 07-02-16 à 12:10

J'ai tout compris, merci beaucoup pour votre aide !


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