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Conservation de la masse

Posté par
lachgar 08-11-19 à 12:55

Bonjour à tous, j?espère que vous allez bien.
J'ai vraiment besoin de votre aide.
Je suis bloqué à la question 4 de cet exercice.
Est ce que vous pouvez me donner une indication pour répondre à cet question?
Merci beaucoup.
*************************************************************************************
** image supprimée => relis les règles du forum (l'énoncé est à recopier) **

Posté par
vanoisere : Conservation de la masse 08-11-19 à 15:45

Bonjour
En formalisme de Lagrange, (X) ne doit pas apparaître. J'écrirais donc plutôt :
v1=(x1 - x2.e).t
Dans le même formalisme :

\frac{D\rho}{Dt}=-\rho\cdot div\left(\overrightarrow{v}\right)

Tel que l'énoncé est posé, il semble bien que la masse volumique dépende du temps mais ne dépend pas de (x,y,z). La dérivée particulaire se confond avec la dérivée par rapport au temps.

Posté par
vanoisere : Conservation de la masse 08-11-19 à 15:51

parenthèse mal placée, je rectifie :

v_{1}=\alpha\cdot\left(x_{1}-x_{2}\cdot e^{\alpha.t}\right)

Posté par
lachgarre : Conservation de la masse 09-11-19 à 12:44

vanoise @ 08-11-2019 à 15:45

Bonjour
En formalisme de Lagrange, (X) ne doit pas apparaître. J'écrirais donc plutôt :
v1=(x1 - x2.e).t

Merci pour votre réponse.
Voulez vous dire en formalisme de Lagrange ou celui d'Euler?

Posté par
lachgarre : Conservation de la masse 09-11-19 à 13:46

vanoise @ 08-11-2019 à 15:45


Dans le même formalisme :

\frac{D\rho}{Dt}=-\rho\cdot div\left(\overrightarrow{v}\right)

Tel que l'énoncé est posé, il semble bien que la masse volumique dépende du temps mais ne dépend pas de (x,y,z). La dérivée particulaire se confond avec la dérivée par rapport au temps.

Je pense qu'il ne dépend du temps non plus.

puisque

\frac{D\rho}{Dt}=-\rho\cdot div\left(\overrightarrow{v}\right)=0

Posté par
cercusre : Conservation de la masse 09-11-19 à 15:48

Sans énoncé sous les yeux, il est difficile de répondre. Fin bon, j'imagine qu'on doit trouver la masse volumique à partir de l'équation de continuité.

On a \frac{D\rho}{Dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + (\overrightarrow{v} .\overrightarrow{\nabla})\overrightarrow{v} = -\rho div(\overrightarrow{v})

Il suffit de calculer la divergence du champs de vitesse ainsi que le terme advectif ( (\overrightarrow{v} .\overrightarrow{\nabla})\overrightarrow{v})  puis de résoudre l'équation différentielle.

Sous réserve

Posté par
lachgarre : Conservation de la masse 09-11-19 à 16:31

Voici l'énoncé:
x_{1}=X_{1}e^{\alpha.t}+X_{2} \\ x_{2}=X_{2}e^{-\alpha.t} \\ x_{3}=X_{3}
La question: Soit  \rho _{0}  la masse volumique à l'instant t=0.
à l'aide de l'équation de continuité en eulérien, calculer la masse volumique  \rho à l'instant t en fonction de  \rho _{0}

Posté par
cercusre : Conservation de la masse 09-11-19 à 16:44

Il faut déjà "convertir" tes positions lagrangienne en vitesse eulérienne. (Tu dois obtenir la vitesse en fonction de x, y, z

Posté par
lachgarre : Conservation de la masse 09-11-19 à 17:00

v_{1}=\alpha (x_{1}-x_{2}e^{\alpha.t}) \\ v_{2}=-\alpha x_{2} \\ v_{3}=0

Posté par
lachgarre : Conservation de la masse 09-11-19 à 17:00

v_{1}=\alpha (x_{1}-x_{2}e^{\alpha.t}) \\ v_{2}=-\alpha x_{2} \\ v_{3}=0

Posté par
cercusre : Conservation de la masse 09-11-19 à 17:13

Calcules maintenant la divergence de la vitesse puis utilise l'équation de continuité en eulerien pour la résoudre : frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \overrightarrow{v}) = 0

Posté par
lachgarre : Conservation de la masse 09-11-19 à 18:00

div\left(\overrightarrow{v}\right)=\alpha -\alpha =0
Donc:

\frac{\partial\rho }{\partial t}=-(u_{1}.\frac{\partial \rho }{\partial _{x_{1}}}+u_{2}.\frac{\partial \rho }{\partial _{x_{2}}})
Donc:
\frac{\partial\rho }{\partial t}=-\alpha \left[ (x_{1}-x_{2}e^{\alpha.t}) \frac{\partial \rho }{\partial _{x_{1}}}-\frac{\partial \rho}{\partial _{x_{2}}}\right]

Posté par
cercusre : Conservation de la masse 09-11-19 à 18:01

Tu as trouvé que div(v) = 0, la réponse est donc immédiate

Posté par
lachgarre : Conservation de la masse 09-11-19 à 18:03

Pardon.

v_{1},v_{2}

au lieu de

u_{1},u_{2}

Posté par
lachgarre : Conservation de la masse 09-11-19 à 18:09

cercus @ 09-11-2019 à 18:01

Tu as trouvé que div(v) = 0, la réponse est donc immédiate

div(v)=0 implique que le milieu est incompressible.
Mais dans la question on demande d'exprimer rho en fonction de rho(0)
Je veux dire qu'on a pas besoin d'utiliser l'équation de continuité, il suffit juste de calculer div(v). Donc je comprends pas pourquoi la question évoque l'équation de continuité

Posté par
lachgarre : Conservation de la masse 09-11-19 à 18:09

cercus @ 09-11-2019 à 18:01

Tu as trouvé que div(v) = 0, la réponse est donc immédiate

div(v)=0 implique que le milieu est incompressible.
Mais dans la question on demande d'exprimer rho en fonction de rho(0)
Je veux dire qu'on a pas besoin d'utiliser l'équation de continuité, il suffit juste de calculer div(v). Donc je comprends pas pourquoi la question évoque l'équation de continuité

Posté par
cercusre : Conservation de la masse 09-11-19 à 18:13

tu as : \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 car div(v) = 0  donc \rho = cste = \rho_0

Posté par
lachgarre : Conservation de la masse 09-11-19 à 18:25

div(v) = 0 c'est vrai, mais il reste un autre terme qui n'est pas nul (\(\overrightarrow{v} .\overrightarrow{\nabla}).\rho = \alpha \left[ (x_{1}-x_{2}e^{\alpha.t}) \frac{\partial \rho }{\partial _{x_{1}}}-\frac{\partial \rho}{\partial _{x_{2}}}\right]

Posté par
lachgarre : Conservation de la masse 09-11-19 à 18:25

div(v) = 0 c'est vrai, mais il reste un autre terme qui n'est pas nul (\(\overrightarrow{v} .\overrightarrow{\nabla}).\rho = \alpha \left[ (x_{1}-x_{2}e^{\alpha.t}) \frac{\partial \rho }{\partial _{x_{1}}}-\frac{\partial \rho}{\partial _{x_{2}}}\right]

Posté par
cercusre : Conservation de la masse 09-11-19 à 18:35

Tu dois confondre les 2 écritures possible de l'équation de continuité :

En formalisme lagrangien, on utilise \frac{\partial \rho}{\partial t} + (\overrightarrow{v}.\nabla)\rho = -\rho div(\overright{v})

et en formalisme eulérien : \frac{\partial \rho}{\partial t} = -div(\rho\overright{v})

=> Les 2 sont equivalentes mais ici on te demande de calculer la masse volumique en utilisant l'équation de continuité en eulérien

Posté par
lachgarre : Conservation de la masse 09-11-19 à 18:53

\frac{\partial \rho}{\partial t} = -div(\rho\overright{v}) = -\left[\rho div(\(\overrightarrow{v}) +(\(\overrightarrow{v}.\overrightarrow{\nabla})\rho\right] \\ \\ {\displaystyle \operatorname {div} (f{\vec {A}})=f\operatorname {div} ({\vec {A}})+\nabla f\cdot {\vec {A}}}

N'est ce pas?

Posté par
cercusre : Conservation de la masse 09-11-19 à 18:59

Oui, c'est juste

Posté par
lachgarre : Conservation de la masse 09-11-19 à 19:12

Le premier terme   \rho div(\(\overrightarrow{v}) est nul, mais le deuxième (\(\overrightarrow{v} .\overrightarrow{\nabla})\rho\right] ne l'est pas.
Ce derneir vaut \alpha \left[ (x_{1}-x_{2}e^{\alpha.t}) \frac{\partial \rho }{\partial _{x_{1}}}-\frac{\partial \rho}{\partial _{x_{2}}}\right]

N'est ce pas?

Posté par
cercusre : Conservation de la masse 09-11-19 à 19:14

on te demande de trouver la masse volumique dans le formalisme eulérien

Posté par
lachgarre : Conservation de la masse 09-11-19 à 19:21

Franchement, j'ai pas compris ce que cela signifie "Dans le formalisme eulérien".
Mais je suppose qu'on doit utiliser la vitesse eulérienne avec la dérivée particulaire.

Posté par
cercusre : Conservation de la masse 09-11-19 à 19:27

En gros, ça veut dire qu'on utilise l'équation de continuité exprimée en formalisme eulérien (car si on se place en formalisme lagrangien, pas sur qu'on puisse résoudre cette equation de facon analytique)

Posté par
lachgarre : Conservation de la masse 09-11-19 à 19:32

Ah d'accord.
Merci beaucoup pour tous ces explications.


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