Je vais procéder comme dans le cours.
Axe des x dirigé vers la droite. Donc mon champ est dirigé selon x avec des charges positives quand x positif et des charges négatives quand x négatif, est-ce juste ?
Voici l'énoncé :
Modélisation d'un conducteur en équilibre électrostatique
1. On considère une sphère de rayon R centrée en O portant une densité surfacique de charges = 0cos où 0 est une constante positive et =(ex,er)
a) En considérant les symétries et antisymétries de la distribution de charges, déterminer la direction du champ électrique au centre de la sphère.
Voici mon dessin. J'ai déduit des symétries et antisymétries que le champ était dirigé selon l'axe des x.
b) Exprimer l'aire élémentaire dS d'une bande repérée par les angles et +d.
dS = 2Rsind*R = 2R²sind
c) Charge totale portée par la sphère
Q= intégrale de dS entre 0 et , j'ai trouvé 0
d) Montrer qu'une sphère possédant une telle distribution crée en son centre un champ uniforme de module E(O) = 0/30
J'ai retrouvé le résultat en utilisant le fait que dE = dEcos=dQ/40R²*cos
e) On plonge cette sphère dans un champ extérieur Eext=E0ex. Exprimer la relation liant la densité 0 au module du champ extérieur E0 afin d'avoir un champ nul en O.
On sait que E(O)totale = Eext + E(O) donc Eext= -0/30
f) Montrer que, en coordonnées polaires, le potentiel Vext dérivant du champ extérieur s'écrit Vext = -E0rcos. On supposera vext(r=0) = 0 et on donne : grav(V) = dV/dr er + 1/r dV/de
Là je ne sais pas comment faire car mon champ est selon x, et non pas suivant er ou e
2. On considère désormais deux sphères identiques de rayon R, de centres O1 et O2 chargés, respectivement, avec les densités volumiques uniformes - et +. Les deux sphères sont disposées de telle sorte que la distance O1O2 = a séparant les centres O1 et O2 soit très faible devant R.
a) Expliquer qualitativement pourquoi, quand on considère le champ à l'extérieur des 2 sphères, on peut faire une analogie entre les 2 sphères et le dipôle électrostatique ?
Pour le dessin, je pense qu'il faut que les deux sphères se superposent pour que leurs centres soient très proches. Et je pense qu'on peut faire une analogie avec le dipôle car on a un système de 2 charges opposés et que R>>>a
b) Retrouver l'expression du potentiel électrostatique créé par le dipole : Vdip = (acosR3)/(30r²) obtenue dans le cadre de l 'approximation dipolaire r>>a, r et sont les coordonnées polaires repérant un point M quelconque de l'espace.
Je ne sais pas comment faire...
3. Pourquoi peut on faire une analogie entre la sphere de la question 1 plongée dans le champ Eext et la superposition des 2 sphères de la question 2 ?
4. Montrer alors que dans le cas où 0 = -a le potentiel vtot = Vext + Vdip reste constant sur une sphère de centre O dont on exprimera le rayon.
5. Rappelez les caractéristiques de la distribution de charges, du champ et du potentiel d'un conducteur à l'équilibre électrostatique. Pour chaque caractéristique, vous ferez le lien avec les questions 3 et 4 du problème.
Dans un premier temps, pourriez vous m'indiquer si ce que j'ai déjà fait est correct ? Pour le reste, je ne sais pas comment faire..
Merci !
Vous pourriez, avec ce paramétrage, indiquer les coordonnées (a,b) de ex dans la base (e theta, e R)...
(a = e x scalaire e theta )...... etc.
J'ai réussi a retrouver le résultat demandé par intégration de mon champ.
Je passe a la partie 2. Pour la a est ce qu'il suffit de dire que l'on a un système de deux signes opposés et que R>>a ? Je ne sais pas comment résoudre la suite...
Petite question, pour intégrer le champ, quelles sont les bornes de l'intégrale pour la variable theta ?
Si j'intègre de 0 à pi, comme pour trouver la charge, je ne retrouve pas le résultat demandé à la question f. Par contre, en intégrant à 2pi je trouve le résultat, mais ça me semble bizarre de ne pas intégrer sur le même intervalle...
Pour le potentiel de ce dipôle, cous pourriez essayer de raisonner comme avec un dipôle ponctuel, dans le cours....
Avant l'approximation dipolaire, je trouve V= R3/30(1/r+-1/r-) avec r+ = 02M et r- = 01M, est ce correct jusque ici ?
Il me reste à savoir si les distances trouvées ci dessus (O1M et O2M) sont justes pour pouvoir faire mon approximation dipolaire.
Peut-être, pour l'histoire du champ extérieur, mais ce n'est vraiment PAS certain, que l'on peut considérer, avec le principe de superposition, le champ de la deuxième sphère comme générant un champ extérieur (d'ailleurs orienté selon ex...)....
Pour 0=a, vous pourriez regarder Vtotale, et voir pour quelle valeur de R, par exemple, et quelle plage de valeurs de theta, cela est constant....
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