Bonjour
J'imagine que le pKs du carbonate de baryum est aussi fourni par l'énoncé.
Pour la concentration en début de précipitation, il faut se placer dans le cas limite où la précipitation commence mais avec une quantité de précipité formée infinitésimale. Tu peux ainsi considérer que :
1° : la quantité de précipité étant négligeable, la concentration en ion baryum ou magnésium est la quantité introduite par litre (concentration c de la solution) ;
2° : le précipité étant présent, la condition d'équilibre est vérifiée (formule faisant intervenir Ks).
Je te laisse réfléchir...

non le pks du carbonate de baryum n'est pas donner mais grâce a la solubilité je l'ai trouvé en revanche pour trouver la concentration en ions carbonate je n'ai toujours pas compris pour moi on a pas assez de valeurs parce que je vois pas comment je peut la trouver. le Ks doit intervenir mais je vois pas comment

Tu n'as pas bien lu mon message précédent. On se place dans le cas limite où le précipité se forme en quantité négligeable :
1° : [Mg²⁺]c=10^-2mol/L
2° : [Mg²⁺][CO₃^2-]=Ks=10^-5,17
Donc :

ah merci beaucoup j'ai compris la démarche mais par contre comment trouve t-on la concentration Mg²⁺ a 10^-2 c'est pas plutôt 10^-3mol/l

Tu as peut-être commis une étourderie en recopiant l'énoncé mais selon ton premier message, c=10^-2mol/L pour la solution contenant les ions magnésium et c=10^-3mol/L pour la solution contenant les ions baryum... Mais l'essentiel est que tu ais compris la méthode car elle est fréquemment utilisée.