Excusez-moi je me suis trompée ce n'est pas P1 mais P2=Po+(mg/S)

Du coup je ne comprends pas combien peut valoir P1 et je ne comprends pas non plus pourquoi P2=Po+(mg/S)

P1=Po mais je ne comprends pas pourquoi

Bonjour
Dans l'état final : Il faut écrire la condition d'équilibre du piston sous l'action de trois forces :
La force verticale ascendante exercée par le gaz enfermé dans le cylindre
La force verticale descendante exercée par la pression atmosphérique
La force verticale descendante exercée par l'objet de masse m sur le cylindre, cette force ayant pour intensité le poids de la masse m.
Dans l'état initial : même type d'étude mais sans le troisième force : le résultat est alors très simple...

Etat initial
La force verticale ascendante exercée par le gaz enfermé dans le cylindre :
La force verticale descendante exercée par la pression atmosphérique
Donc

Dans l'état final :
La force verticale ascendante exercée par le gaz enfermé dans le cylindre :
La force verticale descendante exercée par la pression atmosphérique :
La force verticale descendante exercée par l'objet de masse m sur le cylindre, cette force ayant pour intensité le poids de la masse m :
Donc

J'imagine que dans l'état initial les forces se compensent et qu'on peut donc écrire P1=Po mais je ne comprends pas dans quelles conditions on sait que les forces se compensent si ce n'est pas écrit dans l'énoncé.

Ton inventaire des forces est correct mais pas ta conclusion. L'énoncé indique clairement que l'état final et l'état initial sont deux états d'équilibre. Cela signifie que, dans ces deux états, la somme des vecteurs forces appliquées au piston est le vecteur nul. Comme ici, toutes les forces sont verticales, on peut simplement dire que la somme des forces orientées vers le haut a même norme que la somme des forces orientées vers le bas ; comme tu le dis : les forces appliquées au piston se compensent.
Cas de l'équilibre final :
P₂.S = P₀.S + m.g
Cas de l'équilibre initial :
P₁.S = P₀.S
Je te laisse conclure...
Il s'agit bien sûr d'une étude simplifiée : en réalité : le poids du piston n'est pas nécessairement négligeable et surtout, il n'est pas possible de fabriquer un piston à la fois mobile sans frottement et assurant une étanchéité parfaite lorsqu'il est immobile.

Ok merci

Et comment peut-on savoir que  P2=Pext et T2=Pext ? Est-ce que c'est par la même méthode ?

T_ext est la température extérieure, notée ici T₀   supposée fixe puisque le milieu extérieur est assimilé à un thermostat.
Les parois sont diathermanes c'est à dire conductrices de la chaleur. L'état initial et l'état final sont donc deux états d'équilibre thermique :
T₁ = T₀ et T₂ = T₀
Cependant, il faut savoir que les échanges de chaleur (transferts thermiques) à travers les parois sont relativement lents. Lorsque l'on pose sur le piston la surcharge de masse m, le piston s'enfonce brutalement et la température du gaz varie au cours de ce mouvement (elle n'est d'ailleurs pas nécessairement la même en tout point) mais, au bout de quelques minutes, le gaz redevient homogène et l'équilibre thermique et mécanique est atteint.
Pour la pression : tu fais peut-être référence à la formule de cours :
W=-P_ext.dV
Commence par te poser la question : que représente exactement W ? Pour qu'il y ait travail : il faut nécessairement force appliquée et déplacement...

J'ai compris pour les températures mais j'ai un peu du mal avec les pressions. On a
Donc
Les forces appliquées sont les mêmes que celles que j'ai dit plus haut et le déplacement concerne le piston ce qui entraîne un variation de volume de V1 vers V2. Après je ne vois pas trop comment on peut dire que Po=P2 pour autant. J'imagine que mais je ne comprends pas pourquoi.