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Commutateur et moment cinétique

Posté par
crabenfolie 14-10-16 à 11:31

Bonjour , voilà j'ai du mal à comprendre des les calculs d'un commutateur :

On a les opérateurs suivants :
$\\ \hat{\vec{r}}=(\hat{x},\hat{y},\hat{z}) \\ \hat{\vec{p}}=(\hat{P_x},\hat{P_y},\hat{P_z})=\frac{\hbar}{i}\vec{\nabla} \\ \\ \hat{x}=x \ \ \hat{y}=y \ \ \hat{z}=z \\ \hat{P_x}= P_x \ \ \hat{P_y}=P_y \ \ \hat{P_z}=P_z \\ \\ \hat{ \vec{L} }=\hat{ \vec{r} }\otimes \hat{ \vec{L} } \\ \\ \hat{ \vec{L_x} }=\hat{y}\hat{P_z}-\hat{z}\hat{P_y} \\ \hat{ \vec{L_y} }=\hat{z}\hat{P_x}-\hat{x}\hat{P_z} \\ \hat{ \vec{L_z} }=\hat{x}\hat{P_y}-\hat{y}\hat{P_x}$

On calcule le commutateur suivant:

$[\hat{y}\hat{P_z}, \hat{z}\hat{P_x}]=yP_zzP_x-zP_xyP_z \\ =P_zyzP_x-zP_xP_zy \\=P_zzyP_x-zP_zP_xy \\=P_zzyP_x-zP_zyP_x \\=(P_zz-zP_z)yP_x \\=[P_z,z]yP_x$

J'ai du mal à comprendre comment on aboutit à ce résultat? Par quelle règles?

Je comprends par exemple la première ligne il s'agit de la formule [A,B]=AB-BA.

Mais ensuite,dans la 2°ligne, qu'est-ce qui nous permet de changer l'ordre des différents termes ?
A partir du moment, on pourrait très bien écrire que ce commutateur vaut 0...Si on permute 2 termes côte à côte dans AB doit-on en faire autant dans BA?

En vous remerciant par avance pour votre aide.

Posté par re : Commutateur et moment cinétique 14-10-16 à 23:30

Bonsoir
Quelques précisions sur les opérateurs. Si j'ai bien compris tes notations, appliquer $\hat{y}\hat{P_{z}}$   à une fonction numérique f quelconque des coordonnées d'espace (x,y,z) consiste à calculer : $-i\hbar y\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}$   ; y étant considérée comme une constante dans le calcul de la dérivée partielle par rapport à z, tu as évidemment :

$-i\hbar y\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}=-i\hbar\frac{\partial\left[y\cdot f(x,y,z)\right]}{\partial z}$
Appliquer l'opérateur $\hat{y}\hat{P_{z}}$   est donc équivalent à appliquer l'opérateur $\hat{P_{z}}\hat{y}$   . Ce qui revient à écrire que le commutateur $\left[\hat{y},\hat{P_{z}}\right]$ est nul. Il en est de même de $\left[\hat{x},\hat{P_{z}}\right]$ , $\left[\hat{y},\hat{P_{x}}\right]$ .
En revanche il n'en est pas de même de $\left[\hat{P_{z}},\hat{z}\right]$   :

$-i\hbar\frac{\partial\left[z\cdot f(x,y,z)\right]}{\partial z}+i\hbar z\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}=-i\hbar f(x,y,z)$
Un conseil : si au début, tu as un peu de mal avec les notations un peu "ésotériques" de la mécanique quantique, "raccroche-toi" au sens physique des formules...

Posté par re : Commutateur et moment cinétique 15-10-16 à 02:26

D'accord merci, je pense comprendre ce que tu as marqué...et donc si j'ai bien compris je peux aussi dire que $[ \hat{P_x},\hat{P_z} ]=0$

En fait je pense maintenant avoir un peu mieux compris, en fait dans le calcul du commutateur le sens de lecture est très important.

Par exemple $\hat{P_z}\hat{y}\hat{z}\hat{P_x}=\hat{P_z}\hat{z}\hat{y}\hat{P_x}$ .
Je peux écrire cette égalité parce qu'elle ne change pas mon expression...Mais est-ce que le fait d'écrire que $\hat{y}\hat{z}=\hat{z}\hat{y}$ est une condition suffisante pour permuter ces 2 termes?

Posté par re : Commutateur et moment cinétique 15-10-16 à 12:25

Bonjour
Ecrire $[ \hat{P_x},\hat{P_z} ]=0$ est vrai si :

$\frac{\partial^{2}f(x,y,z)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f(x,y,z)}{\partial y\partial x}$
La dérivée partielle seconde ne dépend pas de l'ordre de dérivation. Tu as sans doute étudié cela de façon rigoureuse en math : il faut que la fonction f vérifie le théorème de Schwarz. Tu as sans doute aussi rencontré ce problème en thermo. Si f(x,y,z) correspond à une fonction d'état, ce qui est toujours vrai en mécanique quantique, la relation que tu as écrite est vérifiée.

Citation :
Mais est-ce que le fait d'écrire que $\hat{y}\hat{z}=\hat{z}\hat{y}$ est une condition suffisante pour permuter ces 2 termes?

Oui : pour t'en convaincre : utilise la méthode que je t'ai donnée hier soir : appliquer à une fonction f l'opérateur $\hat{P_z}\hat{y}\hat{z}\hat{P_x}$ revient à calculer :

$-i\hbar\frac{\partial}{\partial z}\left[y\cdot z\cdot\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}\right]$

Posté par re : Commutateur et moment cinétique 15-10-16 à 18:15

D'accord merci!

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