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Coll et J-P partent à l'aventure !

Posté par
gbm Webmaster 24-04-09 à 18:39

Salut à tous,
Voici un petit problème de mécanique du point qui met en scène des membres de l'île. J'espère qu'ils m'en voudront pas .
_________________________________________________________________________________________
La Terre est assimilée à une boule homogène de centre O et de rayon Rt. Le champ de pesanteur à la surface de la Terre est go. On ne tient pas compte de la rotation de la Terre autour de son axe, aussi on assimile gravitation et pesanteur.
On considère que le champ de gravitation en un point M à l'intérieur de la Terre est donné par

3$g = go\frac{x}{Rt} avec x = OM.

On relie deux villes A et B par un tunnel rectiligne.
* Coll est abandonné sans vitesse initiale en A et se déplace sans frottement dans le tunnel.
* J-P est satellisé autour de la Terre sur une orbite circulaire d'altitude très faible. Il est en A à l'instant initial.

Question : pourra-t-il revoir Coll ?

Bonne reflexion

Coll et J-P partent à l\'aventure !

Posté par
gbm Webmasterre : Coll et J-P partent à l'aventure ! 24-04-09 à 18:51

Rectification : sur le dessin O est la centre de la Terre bien évidemment.

Posté par
J-Pre : Coll et J-P partent à l'aventure ! 24-04-09 à 19:57

Salut gbm,

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Posté par
gbm Webmasterre : Coll et J-P partent à l'aventure ! 25-04-09 à 09:46

J-P :

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Personne d'autre que J-P ?

Posté par
J-Pre : Coll et J-P partent à l'aventure ! 25-04-09 à 10:27

gbm,

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Posté par
Skopsre : Coll et J-P partent à l'aventure ! 25-04-09 à 10:34

Juste un truc question latex

Comment on fait le x avec les deux points au dessus ?

Skops

Posté par
gbm Webmasterre : Coll et J-P partent à l'aventure ! 25-04-09 à 10:47

Salut Skops, sincèrement je n'en ai aucune idée. Moi je fais la dérivée d'ordre 2 sous forme de fraction : 3$\frac{d^2x}{dt^2}

J-P :

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Posté par
Skopsre : Coll et J-P partent à l'aventure ! 25-04-09 à 11:06

Ma réponse

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Skops

Posté par
gbm Webmasterre : Coll et J-P partent à l'aventure ! 25-04-09 à 13:57

Skops :

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Quelqu'un d'autre ?

Posté par
Skopsre : Coll et J-P partent à l'aventure ! 25-04-09 à 14:06

gbm >>

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Skops

Posté par
gbm Webmasterre : Coll et J-P partent à l'aventure ! 25-04-09 à 14:18

:

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Posté par
gbm Webmasterre : Coll et J-P partent à l'aventure ! 25-04-09 à 14:19

Oups erreur de manip' : le précédent message est adressé à Skops ( désolé ).

Posté par
gbm Webmasterre : Coll et J-P partent à l'aventure ! 26-04-09 à 11:29

Solution détaillée :

* Référentiel d'étude : géocentrique galiléen.

* Le premier sytème étudié est Coll de masse m.
Coll est soumis à
- l'action du tunnel \vec{R} orthogonale à la trajectoire (A\vec{x}) car il n'y a pas de frottement
- à la force gravitationnelle exercée par la Terre \vec{F} = -\frac{m.go}{R}x\vec{ur}.

D'après le principe fondamental de la dynamique : m\vec{ac}=\vec{F}+\vec{R}.
En projection sur (Ax), on a

-\frac{m.go}{R}x = m\frac{d^2x}{dt^2} <=> \frac{d^2x}{dt^2}+\frac{go}{R}x=0 (1)

Résolution de l'équation : (1) est de la forme \frac{d^2x}{dt^2}+wo^2x=0. Il s'agit donc d'un oscillateur harmonique de pulsation porpre wo = \sqrt{\frac{go}{R}}.

La solution de cette équation est de la forme x = Acos(wo.t)+ Bsin(wo.t) avec (A,B) IR2.

Conditions initiales : à t=0 x=xo et \frac{dx}{dt}(0)=v(0)=0

or v=\frac{dx}{dt}=-A.wo.sin(wo.t)+B.wo.cos(wo.t) donc v(0) en t=0 => B=0.
De plus, x=xo en t=0 => A=xo.

Finalement, la solution de (1) est x=xo.cos(wo.t), de période propre To=2\pi\sqrt{\frac{go}{R}}.

Coll va donc osciller entre les points A et B à une période To.

* Le second système étudié est J-P de masse m'.
J-P gravite autour de la Terre selon une orbite circulaire de rayon R à vistesse constante (=> mouvement circulaire uniforme).
Il est uniquement soumis à son poids \vec{P}=m'\vec{go} (sachant que son altitude par rapport au sol est z<
D'après le principe fondamental de la dynamique : m'\vec{ajp}=m'\vec{go}.

En projection sur \vec{ur}, on a


ajp = -\frac{v^2}{R} = -go d'où v=\sqrt{go.R}.

La période de J-P est donnée par la formule T = \frac{d}{v} avec d : périmètre du cercle de centre O et de rayon R.
Donc T = \frac{2\pi.R}{\sqrt{go.R}} = 2\pi\sqrt{\frac{go}{R}}.

Ainsi, J-P gravita autour de la Terre selon la période T = To.

Il pourra donc revoir Coll de visu à toutes les périodes au point A.



Coll et J-P partent à l\'aventure !

Posté par
Kaelare : Coll et J-P partent à l'aventure ! 12-05-09 à 16:31

Merci pour cette solution détaillée gbm .

Posté par
gbm Webmasterre : Coll et J-P partent à l'aventure ! 12-05-09 à 18:06

Je t'en prie . Je trouve cet exercice vraiment sympathique.


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