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circulation d'un vecteur

Posté par
toureissa 21-11-17 à 10:37

Bonjour,

J'aimerais comprendre le sens de "circulation d'un vecteur".

Soit un champ de vecteurs \vec{V} (M)
et un déplacement élémentaire
\vec{MM'}  d\vec{M}, noté aussi d\vec{l}.

Circulation élémentaire dC=V·dM (scalaire)

Je ne comprend pas le sens de circulation d'un vecteur.

Posté par
diracre : circulation d'un vecteur 21-11-17 à 10:53

Hello

La circulation d'un (champ de) vecteur le long d'une courbe est la somme du produit scalaire, lorsque qu'un point circule le long de cette courbe du produit scalaire:

- du vecteur en ce point  (par exemple champ électrique)
- et du vecteur déplacement élémentaire (le long de la courbe)

Posté par
toureissare : circulation d'un vecteur 21-11-17 à 12:54

Merci dirac!

J'ai compris comment le calculer.
Mais je n'ai pas compris son sens physique.

Posté par
diracre : circulation d'un vecteur 21-11-17 à 13:56

Moi non plus

Au fait, pourquoi la puissance est elle le produit scalaire d'une force et d'un vecteur vitesse?

Plus sérieusement, la circulation d'un vecteur le long d'un contour a un sens physique que nous formule le Théorème de Stokes Ampère: succinctement: la circulation d'un vecteur le long d'un contour fermé est égal au flux de son rotationnel à travers la surface délimitée...

Je t'engage à jeter un oeil également au Théorème de Green-Riemann (et Théorème d'Ostrogradsky tant qu'à faire...)

Mais pour éclairer peut être un peu plus "ta lanterne" il serait peut être judicieux que tu indiques dans quel domaine d'étude tu es amené à cette question (mécanisme flu, electromagnétisme, ...)

Sinon on risque de se cantonner à des équations mathématiques associés aux propriétés des champs des vecteurs.

Posté par
vanoisere : circulation d'un vecteur 21-11-17 à 16:22

Bonjour toureissa, Bonjour dirac,
Juste une très modeste contribution puis je laisse dirac poursuivre.
La plus simple des applications de la circulation d'un vecteur est tout de même le calcul d'un travail : le travail d'une force quelconque appliquée à une masse quasi ponctuelle se déplaçant d'un point A à un point B est la circulation du vecteur force entre A et B :

W=\intop_{A}^{B}\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{dl}
Si la masse ponctuelle possède une charge qo et se déplace de A à B dans un champ électrostatique, le travail de la force électrique s'écrit :

W=\intop_{A}^{B}q_{0}\cdot\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}=q_{0}\cdot\intop_{A}^{B}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}=q_{0}\cdot\left(V_{A}-V_{B}\right)
Ce qui donne un sens à la notion de circulation du vecteur champ électrostatique. Celle-ci étant conservative, on peut introduire la notion de différence de potentiel électrostatique....

Posté par
diracre : circulation d'un vecteur 21-11-17 à 18:27

Hello vanoise

"petite" contribution dès plus chouette qui fait circuler la force et le champ électrique et ouvre bien sur les conséquences des propriétés de champs de vecteurs  

Je souhaitais faire cogiter toureissa (je commence à savoir que toureissa aime cogiter pour se faire sa propre idée ) sur la relation P = \vec{f}.\vec{v} qui nous permet en fait de conclure que la variation d'énergie était égale à la circulation de la force.

Posté par
toureissare : circulation d'un vecteur 22-11-17 à 09:48

W_A^B=\int_{A}^{B}{d(\frac{1}{2}mv^2)}
W_A^B=\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_A^2
Bonjour,

Citation :
Celle-ci étant conservative, on peut introduire la notion de différence de potentiel électrostatique....


Ça veut dire que la fonction potentielle V est définis par : \vec{E}.d \vec{l}=-dV?

Citation :
Je souhaitais faire cogiter toureissa (je commence à savoir que toureissa aime cogiter pour se faire sa propre idée ) sur la relation P = \vec{f}.\vec{v}  qui nous permet en fait de conclure que la variation d'énergie était égale à la circulation de la force.


J'ai compris la circulation d'un vecteur maintenant.

Comme dit Vanoise la plus simple des applications de la circulation d'un vecteur est tout de même le calcul d'un travail .

La relation fondamentale de la dynamique : m\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{f}

W_A^B=\int_{A}^{B}{\vec{f}.d\vec{l}}

W_A^B=\int_{A}^{B}{\vec{f}.\vec{v}dt}

W_A^B=\int_{A}^{B}{m\frac{d\vec{v}}{dt}.\vec{v}dt}

W_A^B=\int_{A}^{B}{m\vec{v}.d\vec{v}}

W_A^B=\int_{A}^{B}{d(\frac{1}{2}mv^2)}

W_A^B=\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_A^2

Donc puisque le travail est la circulation de la force , donc la variation de l'énergie l'est aussi.

Posté par
toureissare : circulation d'un vecteur 22-11-17 à 09:51

Excusez j'ai mal poster , le message commence par bonjour. Les deux premières lignes ne font pas partir.

Posté par
diracre : circulation d'un vecteur 22-11-17 à 11:17

Je n'ai rien à redire

Citation :
Ça veut dire que la fonction potentielle V est définis par : \vec{E}.d \vec{l}=-dV?


Ou le contraire   le champ électrique est le vecteur gradient du potentiel (scalaire) V:

Pour t'en rendre compte de manière pratique: tu peux continuer avec l'exemple de la charge ponctuelle

Poser le potentiel créé à une distance r de la charge
Calculer le vecteur gradient
Et ... oh merveille, tu retrouve le champ électrique (vecteur)

A toi?

Posté par
toureissare : circulation d'un vecteur 23-11-17 à 11:28

Bonjour,

Le potentiel créé par une charge ponctuelle q en un point M à une distance r est : V=\frac{q}{4\Pi \varepsilon _0r}.

E=-gradV

E=-(\frac{\partial V}{\partial x}\vec{e_x}+\frac{\partial V}{\partial y}\vec{e_y}+\frac{\partial V}{\partial z}\vec{e_z})

Je n'arrive pas a continuer le calcul.

Posté par
diracre : circulation d'un vecteur 23-11-17 à 12:29

Hello

De l'expression du potentiel ressort une symétrie sphérique, puisque "V n'est  fonction que du r  du système de coordonnées sphériques"
Cela doit te pousser à préférer ce système de coordonnées à un système de coordonnées cartésiennes,

Donc:

\nabla V={\frac {\partial V}{\partial r}}\vec{u} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial \theta }}\vec{u} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial V}{\partial \phi }}\vec{u} _{\phi } = {\frac {\partial V}{\partial r}}\vec{u} _{r}

Posté par
toureissare : circulation d'un vecteur 23-11-17 à 15:50

Oui j'ai compris.

\huge \mathrm{ gradV=-\frac{q}{4\Pi \varepsilon _0r^2}}


\huge \mathrm{Et \: donc \: E=-(-\frac{q}{4 \Pi \varepsilon _0r^2})=\frac{q}{4 \Pi \varepsilon _0r^2}}

Que dois-je faire pour montrer que c'est le contraire de ce que j'avais dit .

Posté par
toureissare : circulation d'un vecteur 23-11-17 à 15:57

Désolé

\vec{E}=\frac{q}{4 \Pi \varepsilon _0r^2}\vec{u_r}

Posté par
diracre : circulation d'un vecteur 23-11-17 à 18:42

Citation :
Que dois-je faire pour montrer que c'est le contraire de ce que j'avais dit .


Aïe ... mon propos n'était pas suffisamment clair:

Tu écris: "Ça veut dire que la fonction potentielle V est définis par : \vec{E}.d \vec{l}=-dV"

Je réponds: "Ou le contraire   le champ électrique est le vecteur gradient du potentiel (scalaire) V"

Nous sommes d'accord sur un point   c'est que \vec{E} = -\nabla V

Lorsque que j'écris "le contraire", je "pose" la question:

- le potentiel existe t il du fait du champ électrique?
- ou bien le champ électrique existe t il du fait potentiel électrique?

Les 2 grandeurs étant 2 représentations mathématiques d'une même réalité physique au sein d'un modèle.

Donc je voulais juste "titiller" le "défini par"  

Posté par
toureissare : circulation d'un vecteur 23-11-17 à 20:54

Bien compris .

Merci beaucoup !

Au revoir!


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