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Circulation d'un champ vectoriel

Posté par
Skops 13-09-09 à 15:22

Bonjour,

Soit le champ vectoriel 4$\vec{A}(x,y)=x\vec{U_x}+y\vec{U_y}

Calculer la circulation de 4$\vec{A} sur le segment allant de (0,0), à (0,2R).

Bon, la circulation, c'est 4$\scr {C}=\int_0^{2R}(x\vec{U_x}+y\vec{U_y}).\vec{dl}
mais je ne sais pas vraiment par quoi remplacer le dl... dyUy puisque je suis sur l'axe (0y) ?

Ensuite, si je veux par exemple calculer la cirulation sur le demi cercle joignant ces deux points, où vais-je indiquer que c'est un demi cercle ?

Skops

Posté par
donaldosre : Circulation d'un champ vectoriel 13-09-09 à 15:33

Il faut en effet tenir compte de la forme particulière du chemin pour en simplifier l'expression.

Sur un cercle, on aura probablement intérêt à utiliser des coordonnées polaires:

x=R\cos\theta \\ y=R_sin\theta

et

\vec{{\rm d}{l}}=R{\rm d}\theta \vec{u}_{\theta}

Dans tous les cas, on aura nécessairement une relation entre les deux variables (en particulier, sur un cercle de rayon R, x^2+y^2=R)...

Posté par
Skopsre : Circulation d'un champ vectoriel 13-09-09 à 15:38

Et sur une fonction du type y=x² par exemple ?

Skops

Posté par
Skopsre : Circulation d'un champ vectoriel 13-09-09 à 15:50

J'ai fait le calcul pour le demi cercle et ca me donne 0...

Skops

Posté par
donaldosre : Circulation d'un champ vectoriel 13-09-09 à 16:16

Est-ce que ça te surprend vraiment?

Que représente \vec{A}(x,y) par rapport au cercle?

Pour y=x^2, on a {\rm d}y=2x{\rm d}x. On se ramène là encore à une seule variable d'intégration.

Posté par
Skopsre : Circulation d'un champ vectoriel 13-09-09 à 16:24

Ca me surprend car le calcul de la circulation sur le segment joignant les mêmes points me donne 2R²
Ca m'étonne que ca ne soit pas le même

Skops

Posté par
donaldosre : Circulation d'un champ vectoriel 13-09-09 à 17:49

Je n'avais pas vu que le cercle était centré sur un point particulier dans ton exemple.

Dans ce cas effectivement, on doit trouver le même résultat. Le résultat suivant est même immédiat:

\scr{C}=\int \vec{A}.{\rm d} \vec{A} = \frac 1  2 \int {\rm d}(A^2) \\

Tu as probablement fait une simple erreur de calcul.

Posté par
Skopsre : Circulation d'un champ vectoriel 13-09-09 à 18:11

Pour le segment, j'ai fait

4$\int_0^{2R}\vec{A}.dy\vec{U_y}=[\frac{1}{2}y^2]_0^{2R}=2R^2

Skops

Posté par
donaldosre : Circulation d'un champ vectoriel 13-09-09 à 18:16

Oui, ce calcul est correct.

Posté par
Skopsre : Circulation d'un champ vectoriel 13-09-09 à 19:01

Alors pour le demi cercle maintenant

Comme tu me l'as suggéré, je prends les coordonnées polaires et j'ai donc 4$\vec{dl}=Rd\theta\vec{U_\theta}
Je transforme les vecteurs 4$\vec{U_x} et 4$\vec{U_y} pour obtenir du 4$\vec{U_r} et 4$\vec{U_\theta}.

Je calcule 4$\vec{A}(r,\theta)=R\vec{U_r}
Et donc ca me donne 0 au final.

Comment fait on le calcul en centrant sur un point particulier ?

Skops

Posté par
donaldosre : Circulation d'un champ vectoriel 13-09-09 à 19:11

Il faut prendre en compte le décalage provenant du fait que le cercle soit centré sur (0,R)

y=R\left(1+\sin \theta \right)

Posté par
Skopsre : Circulation d'un champ vectoriel 13-09-09 à 19:21

Ok merci beaucoup

Et si par exemple je veux aller de 0 à R en faisant une sorte de boucle, on peut calculer la circulation avec des courbes polaires ou paramétrés ?

Skops

Posté par
donaldosre : Circulation d'un champ vectoriel 13-09-09 à 19:56

Bien sûr. On peut imaginer de nombreux chemins différents. Tu peux t'amuser à en calculer d'autres si le cœur t'en dit, avec la certitude de trouver le même résultat.

Posté par
Skopsre : Circulation d'un champ vectoriel 13-09-09 à 20:32

Oui enfin en polaires et tout, faut d'abord construire la courbe, un peu lourd ^^

Pour le cercle, j'ai bien compris comment déplacer son milieu, faire varier son rayon mais est ce que il est possible de lui faire faire des rotations car si c'est un demi cercle, ca ne sera pas pareil.

Pour le demi cercle d'avant, comment je sais qu'il relie le point (0,0) et le point (0,2R) ?

Skops

Posté par
donaldosre : Circulation d'un champ vectoriel 13-09-09 à 20:41

C'est évident à partir du moment où il est centré sur (0,R) et a pour rayon R.

Quant à la distinction entre cercle, demi-cercle, quart de cercle, etc. c'est toi qui la contrôle par l'intermédiaire des bornes d'intégrations.

Pour le demi-cercle en question, on a par exemple \theta \in [-\pi/2 ; \pi/2].

Posté par
Skopsre : Circulation d'un champ vectoriel 13-09-09 à 21:06

Ok, merci beaucoup

Skops

Posté par
Skopsre : Circulation d'un champ vectoriel 14-09-09 à 19:05

Juste un (dernier j'espère) truc : pour la circulation sur une fonction, si les bornes ne sont pas précisés, je prends quoi ? -oo et +oo ?

Skops

Posté par
donaldosre : Circulation d'un champ vectoriel 14-09-09 à 19:17

On ne peut pas décider a priori.

Posté par
Skopsre : Circulation d'un champ vectoriel 14-09-09 à 19:35

Bon je demanderai à l'auteur du TD

Deux autres questions (décidement, j'en aurais jamais terminé xD)

- Pour un cercle centré en 0, que signifie A(x,y) ?
- Si je veux calculer la circulation sur de (1,1) à (3,3), je vais prendre y=x mais quelles seront les bornes ?

Skops

Posté par
donaldosre : Circulation d'un champ vectoriel 14-09-09 à 19:52

-Le vecteur \vec{A}(x,y)=\left(\begin{array} x\\y \end{array} \right) correspond simplement au vecteur position.

Pour un cercle centré sur l'origine, cela a comme conséquence qu'en tout point : \vec{A}.\vec{{\rm d}l}=0.

-tu donnes la réponse, y=x \in [1;3]

Posté par
Skopsre : Circulation d'un champ vectoriel 14-09-09 à 20:11

Donc si je prends comme variable x, je prendrais juste 1 et 3

Si c'est (1,2) et (3,4), je prendrais x € [1,3] ?

Skops

Posté par
donaldosre : Circulation d'un champ vectoriel 14-09-09 à 20:34

Ben... non.

Pourquoi [1;3]?

Posté par
Skopsre : Circulation d'un champ vectoriel 14-09-09 à 20:45

Bon, supposons que je veuille calculer la circulation sur la droite joignant les points (1,2) et (3,4) avec le potentiel de départ.

4$\scr{C}=\int (x\vec{U_x}+y\vec{U_y}).(dx\vec{U_x}+dy\vec{U_y})

4$\scr{C}=\int (x\vec{U_x}+y\vec{U_y}).(dx\vec{U_x}+dx\vec{U_y})

4$\scr{C}=\int (xdx+ydx)=\int (2xdx)

Comment vais-je choisir les bornes ?

Skops

Posté par
donaldosre : Circulation d'un champ vectoriel 14-09-09 à 20:56

Tu as exprimé l'intégrale en fonction de la variable x, c'est donc l'intervalle [1;3] qu'il faut choisir.

Mais attention, la relation entre x et y n'est pas la même pour cette droite.

Posté par
Skopsre : Circulation d'un champ vectoriel 14-09-09 à 20:59

Ah oui j'ai changé les coordonnées après avoir tout écrit ^^

Donc si j'ai (1;4) et (20;16), je prendrais (en fonction de x) comme bornes 1 et 20 ?

Skops

Posté par
donaldosre : Circulation d'un champ vectoriel 14-09-09 à 21:28

Oui

Posté par
Skopsre : Circulation d'un champ vectoriel 14-09-09 à 21:29

Qu'est ce qui clochait à 20h11 ?

Skops

Posté par
donaldosre : Circulation d'un champ vectoriel 14-09-09 à 21:45

Je croyais que tu parlais de la circulation sur deux intervalles disjoints et non entre deux points. D'où ma confusion.

Mais tu avais bien raison à 20h11 (et toujours maintenant ).

Posté par
Skopsre : Circulation d'un champ vectoriel 14-09-09 à 21:54

Bon, quand il y en a plus, il y en a encore

Comment faire avec une courbe polaire ou une paramétrée ?

Skops

Posté par
donaldosre : Circulation d'un champ vectoriel 14-09-09 à 22:16

Il n'y a aucune différence.

Le tout est d'arriver à définir les bornes d'intégrations.

Par exemple, pour un arc paramètre de paramètre t,

\vec{f}(t)=\left(\begin{array} x(t) \\ y(t) \end{array}\right)

on a {\rm d}x=x'(t){\rm d}t et {\rm d}y=y'(t){\rm d}t et l'on peut donc parfaitement intégrer par rapport à ce paramètre.

Posté par
Skopsre : Circulation d'un champ vectoriel 14-09-09 à 22:29

et les dx et dy en polaire ?

Skops

Posté par
donaldosre : Circulation d'un champ vectoriel 14-09-09 à 22:40

En polaire, on a directement:

\vec{{\rm d}l}={\rm d}r \vec{u}_r+r{\rm d}\theta \vec{u}_{\theta}

Posté par
Skopsre : Circulation d'un champ vectoriel 15-09-09 à 16:17

et bah elle m'était passé sous le nez cette formule

Merci

Skops


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