Hello

E = Ri + L di1/dt
L di1/dt = Ri2 + U
i = i1 + i2
i2 = C dU/dt
---
On élimine i2

E = Ri + L di1/dt
L di1/dt = RC dU/dt + U
i = i1 +  C dU/dt
---
On élimine i

E = R(i1 +  C dU/dt) + L di1/dt
L di1/dt = RC dU/dt + U
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On dérive E = R(i1 +  C dU/dt) + L di1/dt par rapport au temps :

0 = R(di1/dt +  C d²U/dt²) + L d²i1/dt²

avec di1/dt = RC/L dU/dt + U/L

-->

R(RC/L dU/dt + U/L +  C d²U/dt²) + L (RC/L d²U/dt² + dU/dt * 1/L) = 0

R²C/L dU/dt + U * R/L +  RC d²U/dt² + RC d²U/dt² + dU/dt = 0

R²C/L dU/dt + U * R/L +  2.RC d²U/dt² + dU/dt = 0

2.RC d²U/dt² + (1 + R²C/L) dU/dt + U * R/L = 0

d²U/dt² + [(1 + R²C/L)/(2RC)] dU/dt + U/(2LC) = 0
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A savoir refaire ... bien entendu.

Merci beaucoup !

Il ne manquerait pas un facteur 1/2RC devant le facteur [(1+R²C/L) * dU/dt] ?

Ah non autant pour moi!

Et j'aurai une dernière question, comment dois je commencer pour trouver la solution exacte u(t) en fonction des paramètres w0 et Q ?

Merci d'avance !

d²U/dt² + [(1 + R²C/L)/(2RC)] dU/dt + U/(2LC) = 0

d²U/dt² + wo/Q dU/dt + wo².U = 0

--> wo² = 1/(2LC)
et :
wo/Q = (1 + R²C/L)/(2RC)
Q = 2RC.wo/(1 + R²C/L)
Q = 2RLC.wo/(L + R²C)
Q = (2RLC.* 1/(V(2LC))) /(L + R²C)   (Avec V pour racine carrée)
Q = (R * V(2LC))/(L + R²C)  
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d²U/dt² + wo/Q dU/dt + wo².U = 0

p² + wo/Q . p + wo² = 0

p = [-(wo/Q) +/- (wo²/Q² - 4.wo²)^(1/2)]/2

p = [-(wo/Q) +/- wo.(1/Q² - 4)^(1/2)]/2

p = [-(wo/Q) +/- (wo/Q).(1 - 4Q²)^(1/2)]/2

Les solutions dépendent du signe de (1 - 4Q²)

a)

Si (1 - 4Q²) < 0 (donc Q > 1/2), alors :

p = [-(wo/Q) +/- j.(wo/Q).RC(4Q²-1)]/2

U(t) = (e^(-wo/(2Q))*t) * [A * sin(t * (wo/(2Q)) . RC(4Q²-1)) + B * cos(t * (wo/(2Q)) . RC(4Q²-1))]

A et B sont des constante à déterminer à partir des conditions initiales.

b)
Si (1 - 4Q²) < 0 (donc Q < 1/2), alors :

U(t) = ...

c)
Si (1 - 4Q²) = 0 (donc Q = 1/2), alors :

U(t) = ...
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Sauf distraction (rien vérifié).