Niveau maths sup

circuit RL

Posté par
Openmind2205 04-11-17 à 13:20

Bonjour,
on a un circuit RL série et à t>0 K est fermé.
On cherche l'expression de i(t) et de U_L(t)
en faisant les calculs nécessaires on a i(t)= E/R(1-e^(-t/tau)
et UL(t)= $E.e^{t/\tau }$
Mais moi je cherche les énergies de Wg (délivrée par le générateur) et de Wr
WL j'ai trouvé que c'est à (L(i)^2)/2
Pouvez me dire qu'est ce je suis censée trouver pour Wg et Wr svp ?

Posté par re : circuit RL 04-11-17 à 14:14

Bonjour
La puissance instantanée fournie par le générateur est :
$\\ p_{G}=E.i=\frac{E^{2}}{R}\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$

L'énergie totale fournie par le générateur vaut ;

$W_{G}=\intop_{0}^{\infty}p_{G}.dt$

La puissance instantanée reçue par la résistance vaut :

$p_{R}=R.i^{2}=\frac{E^{2}}{R}\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)^{2}$

L'énergie consommée par effet Joule vaut donc :

$W_{R}=\intop_{0}^{\infty}p_{R}.dt$

Je te laisse calculer les deux intégrales et vérifier au final la conservation de l'énergie électrique :
$\\ W_{G}=W_{R}+W_{L}=W_{R}+\frac{1}{2}L\left(\frac{E}{R}\right)^{2}$
Bon courage !

Posté par re : circuit RL 04-11-17 à 14:36

merci

WG= $\frac{E^{2}}{R}\int_{0}^{infini}{(1-e^{-t/\tau })} dt$
et je trouver que c'est égal à -infini- (E^2*tau)/R ...

Posté par re : circuit RL 04-11-17 à 14:58

Effectivement, puisque le générateur continue à fournir un courant une fois le régime transitoire terminé, l'énergie fournie par le générateur et l'énergie reçue par la résistance sont toutes deux infinies si la durée de fonctionnement est infinie. Il est donc préférable, pour arriver au bilan :

$\\ W_{G}=W_{R}+W_{L}=W_{R}+\frac{1}{2}L\left(\frac{E}{R}\right)^{2}$
de l'écrire sous la forme :
$\\ W_{G}-W_{R}=W_{L}=\frac{1}{2}L\left(\frac{E}{R}\right)^{2}$

$W_{G}-W_{R}=\intop_{0}^{\infty}(p_{G}-p_{R}).dt=\frac{E^{2}}{R}\intop_{0}^{\infty}\left[\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)-\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)^{2}\right].dt$

Je te laisse faire le calcul : le bilan énergétique est bien correct !

Posté par re : circuit RL 04-11-17 à 15:15

On a bien wG = +infini + I^2.L , wL=wR (LI^2)/2 si je fais WG-WL pour trouver WR ?

Posté par re : circuit RL 04-11-17 à 15:56

Je ne suis pas sûr que tu ais bien compris mon message précédent ! Attention aussi aux maths : écrire “l'infini + grandeur finie” n'a pas de sens ! Un peu comme si en math tu écrivais : $\left(\infty+3\right)$ !

Ton énoncé ne précise pas entre quels instants faire le bilan énergétique. Le plus souvent, (et c'est ce que j'ai fait), on demande de le faire entre la date “0” et une date suffisamment grande (l'infini au niveau des calculs) pour que l'on puisse considérer le régime permanent atteint. On doit logiquement obtenir dans ce cas :

$W_{G}-W_{R}=W_{L}=\frac{1}{2}L\left(i_{\infty}\right)^{2}=\frac{1}{2}L\left(\frac{E}{R}\right)^{2}$ . Je ne suis pas sûr que tu ais bien compris pourquoi j'ai remplacé i par (E/R) dans l'expression de W_L dans mon message précédent. Reprends ce précédent message et pose des questions sur ce que tu n'y comprends pas.

Sinon, il est aussi possible de faire un bilan énergétique entre l'instant initial et un instant quelconque de date t₁. En utilisant les résultats des messages précédents, cela donne :

$\intop_{0}^{t_{1}}p_{G}.dt=\intop_{0}^{t_{1}}p_{R}.dt+\frac{1}{2}L.i_{(t_{1})}^{2}$

$\frac{E^{2}}{R}\intop_{0}^{t_{1}}\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right).dt=\frac{E^{2}}{R}\intop_{0}^{t_{1}}\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)^{2}.dt+\frac{1}{2}L.\left[\frac{E}{R}\left(1-e^{-\frac{t_{1}}{\tau}}\right)\right]^{2}$

Le calcul est juste un peu plus long et peut-être pas demandé par l'énoncé ...

Posté par re : circuit RL 04-11-17 à 17:00

vous avez remplacé I par E/R car c'est ce qu'elle vaut à t=0 non ?

Posté par re : circuit RL 04-11-17 à 18:04

Lis bien mon message précédent :

$i_{\infty}=\frac{E}{R}$

La présence d'une bobine dans un circuit assure la continuité de l'intensité :

$i_{(0)}=0$

Je croyais que tu dominais bien ces questions dans la mesure où tu as fourni une expression correcte de l'expression de l'intensité à la date t :

$i_{(t)}=\frac{E}{R}\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$

J'espère pour toi que les précisions ci-dessous sont inutiles :

$e^{0}=1\quad;\quad\lim_{t\rightarrow\infty}\left(e^{-\frac{t}{\tau}}\right)=0$

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