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Cinématique mouvement circulaire : CD

Posté par
Dragonfruit 10-10-18 à 00:54

Bonjour,

J'ai un exercice à faire, mais j'aurai besoin d'aide pour vérifier mes résultats car je ne suis pas sûre, surtout pour la question 5.

A la mise en route, une platine CD ROM fait deux tours avant d'atteindre la vitesse angulaire désirée $\omega 0$ correspondant à une vitesse de rotation de 300 tr.min $^{-1}$ . On admet que l'accélération angulaire $\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}=\frac{d\omega }{dt}=\ddot{\theta _{0}}$ est constante pendant la phase accélératrice (cette phase se fait sur 2 tours). A l'instant initial, la platine est à l'arrêt ( $\dot{\theta }$ (t=0)=0) et on pose que $\theta$ (t=0)=0

Cinématique mouvement circulaire : CD

Phase d'accélération ( $0\leq t\leq \tau$ )

1. Donner l'expression de la vitesse angulaire $\omega (t)=d\theta (t)/dt$ et de l'angle de rotation $\theta (t)$ au cours de la phase d'accélération de la platine.

$\omega (t)=\ddot{\theta }*t$
$\theta (t)=\frac{\ddot{\theta }*t^{2}}{2} <=> \theta (t)=\frac{\omega *t}{2}$

2. Donner l'expression de la durée $\tau$ de la phase accélératrice, puis l'expression de l'accélération angulaire $\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}=\ddot{\theta _{0}}$ en fonction de $\omega _{0}$ .
Application numérique : avec les données de l'énoncé, calculer les valeurs numériques de $\tau$ et $\ddot{\theta _{0}}$ .

A t= $\tau$ , $\theta (\Pi )=4\Pi$ rad et $\omega (\tau )=10$ rad.s $^{-1}$ donc d'après l'expression $\theta (t)=\frac{\omega *t}{2} <=> t=\frac{2\theta }{\omega } <=> 2\Pi =10\Pi *t$ soit t=0.2s.
Pour déterminer $\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}$ , on utilise $\theta (t)=\frac{\ddot{\theta }*t^{2}}{2} <=> \theta (t)=\frac{\omega *t}{2}$ donc $\ddot{\theta }*t^{2}=\omega *t <=> \ddot{\theta }=\frac{\omega }{t}=\frac{10\Pi }{0,2}=39,3$ m.s $^{-1}$

3. On se place en coordonnées polaires ( $\vec{u}_{r}, \vec{u}_{\theta }$ ) : donner la vitesse et l'accélération d'un point M de la platine situé à une distance R de l'axe en fonction de R et $\omega (t)$ .

R=cst
$\vec{v}(t)=R*\frac{d\theta }{dt}\vec{u}_{\theta }$
$\vec{v}(t)=R*\ddot{\theta}*t\vec{u}_{\theta }$
$\vec{v}(t)=R*\omega (t)\vec{u}_{\theta }$
$\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}+\frac{\vec{v}^{2}}{R}=\frac{d\vec{\omega} (t)}{dt}+\frac{\vec{v}^{2}}{R}\vec{u}_{\theta }$

4. Application numérique : calculer la composante normale $a_{r}$ ainsi que la composante tangentielle $a_{\theta }$ de l'accélération, à la fin de cette phase d'accélération (donc après les deux premiers tours), pour un point M situé à 2,3cm de l'axe. Représenter sur un schéma le point M, ainsi que les vecteurs vitesse et accélération.

$\vec{a}(t)$ $\begin{cases} & \text{ an } = \frac{\vec{v}^{2}}{R} \\ & \text{ a theta } = \frac{d\vec{\omega}(t)}{dt} \end{cases}$
Soit la fin de la phase accélératrice est à t=0,2s.

$\vec{v}(0,2)=2,3*10^{-2}*\omega (0,2)$ et $\omega (0,2)=31,44$
$<=> \vec{v}(0,2)=0,72$ m.s $^{-1}$
Donc $a_{n}=\frac{0,72^{2}}{2,3*10^{2}} <=> d_{n}=22,54$ m.s $^{-2}$ et $a_{\theta }=\frac{d\omega (0,2}{dt}=\ddot{\theta }_{0,2}=39,3$ m.s $^{-2}$

Phase de lecture ( $t>\tau$ )

5. Sur un CD, les données sont inscrites le long d'une spirale depuis la piste centrale du disque (de rayon $r_{int}$ =2,3cm) jusqu'à la périphérie (de rayon $r_{ext}$ =5,8cm). Chaque secteur de données a une longueur fixe de 1 $\mu m$ , e le défilement des données devant la tête de lecture doit se faire avec une vitesse linéaire constante : par conséquent la rotation du disque se fait à vitesse angulaire variable, mais le servomoteur assure toutefois une accélération angulaire constante durant la phase de lecture. La vitesse de défilement est fixée à $v=1,3m.s^{-1}$ , et la durée totale de lecture d'un CD audio est de 75 minutes.

(a) Quelle est la longueur totale L de la piste ? En déduire le nombre de bits que l'on peut placer sur un CD. Sachant qu'un mégaoctet (Mo) de données correspond à $8*(1024)^{2}=8,4.10^{6}$ bits, vérifier que votre résultat est raisonnable.

75min=4500s
1Mo=8,4*10 $^{6}$ bits
1,3*4500=5850m
$\frac{5850}{10^{-2}}=5850*10^{2}$
$\frac{5850}{8,4}=690Mo$
$5,52*10^{3} bits$
Le résultat est raisonnable

(b) Calculer la valeur de la vitesse angulaire $\omega _{int}$ requise pour la piste centrale de rayon $r_{int}$ , ainsi que celle $\omega _{ext}$ correspondant au rayon $r_{ext}$ . En déduire la valeur de l'accélération angulaire $\ddot{\theta }_{1}$ durant la phase de lecture du CD. Quelle est alors la loi horaire de la vitesse angulaire $\omega (t)=\frac{d\theta (t)}{dt}$ du CD ?

$\omega (t)=10\Pi .s^{-1}$
$300 tr.min^{-1}$

$v(t)=1,3m.s$
$v(t)=R*\omega _{0}\vec{u}_{r}$
$1,3=2,3*10^{-2}*\omega$
$\omega =\frac{1,3}{2,3*10^{-2}}=56,52 rad.s^{-1}$
$\omega =\frac{1,3}{5,8*10^{-2}}=22,41 rad.s^{-1}$

$\omega (t)=\ddot{\theta }t+56,52$
$\omega (5850)=22,41 =\ddot{\theta }*5850-56,52=22,41 <=> \ddot{\theta }=\frac{22,41-56,52}{4500}=-0.0076=7,6*10^{-3}m.s^{-2}$

L'équation horaire est donc :
$\omega (t)=7,6*10^{-3}*t$

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par re : Cinématique mouvement circulaire : CD 10-10-18 à 18:05

Bonjour
J'avais commencé à répondre sur ce problème ici pour les questions 1 et 2 :

Tes premières équations littérales sont correctes mais tu te pièges tout seul en remplaçant $\dot{\theta}$ par . Immanquablement, cela te conduit ensuite, dans certaines relations, à considérer comme une constante. Je te laisse rectifier en tenant compte du lien que je te fournis.
Pour la question 3 : OK pour la vitesse. Erreur sur l'accélération : il ne faut pas confondre dérivée du vecteur vitesse et dérivée de la norme du vecteur.

$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}\quad;\quad\overrightarrow{a}=\frac{d\Vert\overrightarrow{v}\Vert}{dt}\cdot\overrightarrow{u_{\theta}}-\frac{\Vert\overrightarrow{v}\Vert^{2}}{R}\cdot\overrightarrow{u_{r}}$

Soit encore :

$\overrightarrow{a}=R\cdot\ddot{\theta}\cdot\overrightarrow{u_{\theta}}-R\cdot\dot{\theta}^{2}\cdot\overrightarrow{u_{r}}$
Je te laisse rectifier...

Posté par re : Cinématique mouvement circulaire : CD 10-10-18 à 18:50

Pour la phase de lecture : un CD a une capacité maximale de stockage de 700 mégaoctets. Attention : 1bit occupe sur la piste de lecture une longueur moyenne de 1µm = 10^-6m, pas de 1cm !

Citation :
$v(t)=R*\omega _{0}\vec{u}_{r}$

Attention à la rigueur des notations : un vecteur ne peut être égal qu'à un vecteur :

$\overrightarrow{v}_{(t)}=r.\omega_{(t)}\overrightarrow{u_{\theta}}\quad;\quad v_{(t)}=r.\omega_{(t)}$
Ton calcul est mené correctement mais attention à l'unité :

$\ddot{\theta}=-7,6.10^{-3}rad/s^{2}$

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