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Cinématique - équation de la trajectoire
Dans un repère cartésien R (0, x, y, z) un point M se déplace selon les équations horaires suivantes :
x(t) = 1 + cos(t) y(t) = sin(t) z(t) = 0
1) Déterminer l'équation de la trajectoire et montrer que c'est un cercle dont le centre C est situé sur l'axe Ox (OC = 1 cm) et donc le rayon est de 1m
2) Exprimer le vecteur vitesse V. Précisez sa direction par rapport à la trajectoire. Donnez la valeur de la vitesse du point M et montrer que le mouvement est uniforme.
3) Exprimer le vecteur vitesse angulaire w (également appelé vecteur rotation). Calculer la valeur de w.
4) Exprimer le vecteur accélération a. Le comparer avec le vecteur CM. Que peut-on dire de ce vecteur a par rapport au vecteur vitesse V et par rapport à la trajectoire. Donner la valeur de a (la norme du vecteur accélération)
Voila l'énoncé, le problème c'est que je bloque dès le début. Je n'ai pas d'exemple d'équation de la trajectoire dans mes cours et le peu que je trouve sur internet, c'est sur des cas très simple.
Si quelqu'un peut m'expliquer cette notion, cela m'aiderait beaucoup !
Je vous remercie
Bonjour,
z(t) = 0 donc la trajectoire de M est dans le plan xOy
Rappel :
L'équation cartésienne d'une cercle de centre C(a,b) et de rayon R est de la forme :
(x-a)² + (y-b)² = R²
En élevant au carré d'une part :
cos(t) = x(t) - 1
et d'autre part sin(t) = y(t)
puis en faisant la somme des termes obtenus tu auras la réponse à la question posée.
Merci beaucoup !
Je ne connaissais pas cette formule !
Du coup le résultat est logique et on retrouver bien R = 1 ce qui confirme le rayon d'1 mètre !
Mais du coup, pour exprimer le vecteur V, on utilise la formule dOM/dt ce qui donne
- sin (t) x + cos(t) y ?
Excusez moi pour mon niveau, les études à distances sont pas faciles et je commence seulement la cinématique !
Merci
Question 2 :
On a donc :
Le produit scalaire du rayon vecteur par le vecteur vitesse
est nul.
Ces deux vecteurs sont perpendiculaires donc le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire circulaire.
V² = = sin²(t) + cos²(t) = 1
V = 1 (unité de vitesse )
Et j'ai oublié la fin de la question :
Le module de la vitesse est constant donc le mouvement est bien un mouvement uniforme.
Bonsoir !
Désolé de la réponse tardive !
Merci pour l'explication, cependant je ne comprends pas comment vous déterminer que (CO) ⃗=-i ⃗ ? c'est en lien avec le fait que le rayon est 1 ? mais dans ce cas pourquoi i et pas j ?
Je vous remercie pour votre aide !
Les coordonnées du point O sont (0,0)
Les coordonnées du point C sont (1,0). Voir l'énoncé
Les coordonnées du vecteur sont (-1,0)
On a bien
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