Niveau maths sup

Cinématique du point matériel

Posté par
Iviod 06-09-16 à 21:52

Bonsoir,

En travaillant un exercice de cinématique, j'ai trouvé des résultats étranges. Comme je suis nouveau en math Sup, je me suis demandé si mes réponses étaient bonnes. Pour cela je me tourne à vous, afin de me guider dans cette longue voie.

Voici l'énoncé de l'exercice :

On considère la trajectoire d'un point M définie par : $x(t)=R.cos(wt)$ , $y(t)=R.sin(wt)$ et $z(t)=a.w.t$ . Où $R$ , $w$ et $a$ sont des constantes positives.
a- Exprimer les coordonnées cartésiennes de la vitesse; en déduire l'abscisse curviligne $s(t)$ en choisissant comme origine la position de M à t=0
b- Déterminer le vecteur unitaire $\vec{T}$ tangent à la trajectoire. Montrer qu'il fait un angle constant avec (Oz) et exprimer son sinus puis son cosinus.
c- Calculer le rayon de courbuce $R_{c}$ de la trajectoire et exprimer les coordonnées du vecteur unitaire $\vec{N}$ normal à la trajectoire.
d- Exprimer les composantes des vecteurs vitesse et accélération en coordonnées cylindriques.

Voici ma solution . Je suis confus à propos de l'abscisse curviligne et du rayon de courbure.

a- On a : $\vec{OM}=x\vec{U_{x}}+y\vec{U_{y}}+z\vec{U_{z}}$ on trouve facilement que : $\vec{V}=-Rwsin(wt)\vec{U_{x}}+Rwcos(wt)\vec{U_{y}}+aw\vec{U_{z}}$
Pour l'abscisse curviligne, on a : $V=\frac{ds}{dt}$ , et $V=w\sqrt{R^{2}+a^{2}}$ d'où $s=\int_{0}^{t}{Vdt}=w\sqrt{R^{2}+a^{2}}.t$

b- $\vec{T}=\frac{\vec{V}}{V}=\frac{-Rwsin(wt)\vec{U_{x}}+Rwcos(wt)\vec{U_{y}}+aw\vec{U_{z}}}{w\sqrt{R^{2}+a^{2}}}$
Pour déterminer l'angle ( que j'ai appelé $\alpha$ ) j'ai fais le produit scalaire :
$\vec{U_{T}}.\vec{U_{z}}=\frac{a}{\sqrt{R^{2}+a^{2}}}$ et $\vec{U_{T}}.\vec{U_{z}}=\left|\left|\vec{U_{T}} \right| \right|.\left|\left|\vec{U_{z}} \right| \right|.cos(\alpha )$ et on sait que $\left|\left|\vec{U_{z}} \right| \right|=1$ et $\left|\left|\vec{U_{T}} \right| \right|=1$
On déduit que : $cos(\alpha )=\frac{a}{\sqrt{R^{2}+a^{2}}}=cte$ et aussi : $sin(\alpha )=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+a^{2}}}$

c- On a $V$ =cte donc $\frac{dV}{dt}$ =0 , donc $\vec{a_{T}}$ =0 .
$R_{c}=\frac{V^{2}}{\left|\left|\vec{a} \right| \right|}$
et $\vec{a}=-Rw^{2}cos(wt).\vec{U_{x}}-Rw^{2}sin(wt).\vec{U_{y}}$
donc $\left|\left|\vec{a} \right| \right|=Rw^{2}$
Alors $R_{c}=\frac{w^{2}(R^{2}+a^{2})}{R.w^{2}}=R+\frac{a^{2}}{R}$
On a $\vec{n}=\frac{\vec{a}-\vec{a_{T}}}{a_{N}}$ ( $\vec{a_{T}}$ ) , donc $\vec{n}=\frac{\vec{a}}{\frac{V^{2}}{R_{c}}}$ on trouve à la fin que $\vec{n}=-cos(wt)\vec{U_{x}}-sin(wt)\vec{U_{y}}$ ( je trouve étrange ce résultat :O )

d- On considère m , la projectoire de M sur le plan (xOy). On montre aisément que le mouvement de m est circulaire de centre O et de rayon R.
On a $sin(\theta )=\frac{y}{R}\Rightarrow \theta =wt$ ou $\theta =\pi -wt$ . Or à t=0 , le point m₀ est sur l'axe (Ox) donc $\theta =wt$
On trouve que : $\vec{V}=Rw.\vec{U_{\theta }}+aw.\vec{U_{z}}$ et $\vec{a}=-Rw^{2}\vec{U_{r}}$

Aussi, ai-je une question, est-ce qu'on a toujours $V=\frac{ds}{dt}$ ? Si oui, alors $\frac{dOM}{dt}=\frac{ds}{dt}$ ce qui me parait fort bien étrange.
J'espère que vous puissiez m'aider afin de combler mes lacunes et d'améliorer mon niveau.

Merci d'avance !

Posté par re : Cinématique du point matériel 06-09-16 à 22:33

Bonsoir
L'ensemble est bien vu !

Citation :
( je trouve étrange ce résultat :O )

Ce résultat est correct ! On peut considérer le mouvement comme une composition de deux mouvements simples :
1° Un mouvement de rotation autour de l'axe (Oz) de rayon R et de vitesse angulaire

2° un mouvement de translation rectiligne uniforme suivant l'axe (Oz) à la vitesse constante a.

Comme le second mouvement est d'accélération nulle, il est normal d'obtenir la même accélération que si le mouvement était uniquement le mouvement n° 1 : l'accélération est radiale centripète. C'est pour cette raison que le vecteur unitaire $\vec{n}$ est égal à $(\vec{-u_r})$ . Cette remarque vaut aussi pour la vitesse que tu as très bien écrite sous la forme : $\vec{V}=Rw.\vec{U_{\theta }}+aw.\vec{U_{z}}$
Si tu choisis comme sens positif de déplacement le long de la trajectoire le sens réel du mouvement, tu as toujours : $V=\frac{ds}{dt}$ ; de plus le vecteur vitesse est le vecteur dérivée par rapport au temps du vecteur position, ce qui se traduit par la relation :

$\overrightarrow{V}=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}$

Posté par re : Cinématique du point matériel 06-09-16 à 22:44

Petite précision : la notation

$\frac{dOM}{dt}$
désigne la dérivée par rapport au temps de la distance de l'origine O du repère au point M. Imagine le cas particulier où M se déplace sur un cercle de centre O. La distance OM reste fixe :

$\frac{dOM}{dt}=0\;\forall t$
et pourtant : la vitesse du point M n'est pas nulle !

Posté par re : Cinématique du point matériel 07-09-16 à 00:32

Je vois, j'ai bien saisi.
Je vous suis infiniment reconnaissant pour vos réponses . Merci énormément !

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