Inscription / Connexion Nouveau Sujet
cinématique du point matériel
Bonjour tout le monde
J'étais en train de faire cet exercice et j'ai trouvé des difficultés à débuter.
L'énoncé:
Un point matériel se déplace suivant : x= а cos θ, y= а sin θ et z=h θ et h étant constant et θ étant l'angle que fait Ox avec la projection de M sur le plan xOy, on donne θ=ωt, ω étant constant.
1. Quelle trajectoire décrit M
2. Déterminer l'expression des vecteurs vitesse et accélération dans le système des coordonnées cylindriques.
3. Déterminer le rayon de courbure
4. Déterminer l'expression des vecteurs de base ( UT, UN )
5. Montrer que le vecteur unitaire tangent à la trajectoire UT fait un angle constant avec l'axe Oz
NB:
Toutes les grandeurs notées en caractère gras sont des grandeurs vectorielles.
Bonsoir,
Pour débuter,
La projection du point M dans le plan x0y décrit un cercle. Et puisque z=h*theta, la trajectoire de M est donc hélicoïdale.
Et par là même occasion, au cas où :
Repère cylindrique:
OM(t) = r(t) Ur(t) + z(t) Uz
Le vecteur Ur(t) varie au cours du temps et tu as :
dUr/dt = d
/dt U
v = dOM/dt = dr/dt Ur + dz/dt Uz + r d/dt U
Utilise les données de l'énoncé, (r = a, =
t).
slt magisterien
donc - d'après ce que j'ai compris - on aura
v= da/dt Ur+ a dwt/dt Uθ + dhwt/dt Uz
v= da/dt Ur + aw Uθ + hw Uz
puisque a = cte
v= aw Uθ + hw Uz
est- il juste ce que j'ai fait?
Yes, çà à l'air.
Maintenant, pour l'accélération, il te suffit de dériver la vitesse et de savoir
que dU/dt =- d/dt Ur.
Si tu veux que je te démondre cette dernière relation ainsi que dUr/dt = d/dt U, demande-le moi.
Donc
γ= dv/dt
γ = - a ω2Ur
le rayon de courbure ρ
ρ= v2/ γn
ρ=( (aω)2+ (hω)2 )/(aω2)
ρ = (a2+h2)/a
C'est ça, n'est-ce pas?
__________________
J'aime bien que vous me démontriez les deux relations car j'ai des difficultés avec les coordonnées cylindriques ... merci d'avance
Parfait pour le rayon de courbure.
-----------------------
Je te rédigerai un petit truc sur les coordonnées cylindriques avant ce soir.
Repère cylindrique, tu as trois vecteurs unitaires sur lesquels tu décompose
le mouvement : Ur, U et Uz.
Mais à la différence du repère fixe cartésien (Ux,Uy,Uz), Ur et U varient !
La position du point M est décrite à chaque instant par son rayon-vecteur OM(t).
Un vecteur ne dépend pas du référentiel choisi pour décrire le mouvement, c'est pour çà que les lois physiques (qui ne dépendent pas de l'observateur) sont exprimées sous forme vectorielle. (m a = F)
En revanche, l'expression d'un vecteur dans une base donnée varie en fonction de la base choisie !
Ainsi tu peux décrire OM(t) dans la base cartésienne sur les trois vecteurs Ux, Uy, Uz, tel que OM(t) = x(t) Ux + y(t) Uy + z(t)Uz où x,y,z sont les composantes du vecteur OM qui le représente totalement dans cette base.
Mais tu peux très bien choisir de représenter OM(t) sur toute autre base et le choix de la base suit la simplicité à déterminer l'expression de OM dans la base. Un mouvement circulaire est plus apte à être décrit dans une base qui décompose le mouvement en une partie radiale et angulaire que dans une base qui le décompose en mouvements horizontaux perpendiculaires (Ux,Uy) etc..
Et enfin, une fois la représentation du mouvement trouvée dans une base donnée, tu peux en déduire sa représentation dans une autre base plus compliquée si tu sais exprimer les vecteurs des deux bases entre eux.
Pour la base cylindrique,
Ur = cos Ux + sin Uy
U = -sin Ux + cos Uy
Uz = Uz
U et Ur sont orthogonaux tout comme avec Uz (base).
Le vecteur OM(t) est parfaitement décrit sur Ur et Uz uniquement car Ur varie et décrit aussi le mouvement angulaire.
OM(t) = r(t) Ur(t) + z(t) Uz
v(t) = dOM/dt = dr(t)/dt Ur(t) + r(t)d/dt U + dz(t)/dt Uz
dUr/dt = d/dt(cos (t) Ux + sin (t) Uy)
mais Ux et Uy sont fixes !
dUr/dt = d/dt(-sin (t) Ux + cos (t) Uy)
et ce vecteur "(-sin (t) Ux + cos (t) Uy)" est directement (au sens trigonométrique) orthogonal au vecteur Ur et on le note U.
<br />
<br />Donc si tu dérive encore une fois
<br />d<sup>2</sup>Ur/dt<sup>2</sup> = - (d/dt[smb]theta.gif)
)2 Ur
oups il y a un petit bug
et ce vecteur "(-sin (t) Ux + cos (t) Uy)" est directement (au sens trigonométrique) orthogonal au vecteur Ur et on le note U. Et ceci est également un théorème (la dérivé d'un vecteur tournant est un vecteur qui lui est directement orthogonal).
Donc si tu dérive encore une fois
d2Ur/dt2 = - (d/dt)2 Ur
merci bcp magesterien ...pour les coordonnées cylindriques je les ai compris mieux qu'avant... merci une autre fois
mais je sais pas comment repondre à la 4 ème question ... pouvez vous m'aider .. merci d'avance
POUR l'acceleration
j'ai réessayé de retrouver son expression est j'ai eu une expression toute differente de la premiere
j'ai trouvé
Γ= dv/dt = aώUθ - aω2Ur + hώ Uz
svp , est- elle juste?
Oui c'est bon, mais puisque est donnée comme constante, elle ne varie pas au cours du temps tout comme a et ainsi les termes en Utheta et Uz disparaissent.
salut
pour UT : on na V=v UT ( V c'est le vecteur et v le module de V ) donc UT=V/v tu a déjà calculer V il te reste a calculer le module et faire la division
pour UN : on na dUT/d =UN on dois juste dériver UT par rapport a l'angle
(a
Annuler
connectez vous