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cinématique du point

Posté par
ailou1997 23-03-18 à 22:10

bonjour, un petit exercice proposer:
les équation paramétrique du mouvement d'un mobile M se déplace dans un plan muni d'un repère orthonormé son donnée par:
x=4cos3t             y=4sin3t  (x et y en (m) et t en(s))
1. Trouver l'équation cartésienne de la trajectoire. Représenter la courbe correspondante a dans le repère (xoy)
2. déterminer les composantes cartésiennes du vecteur vitesse   ainsi son module.
3. déterminer les composantes cartésiennes du vecteur accélération a  ainsi son module.
4. calculer le produit scalaire v.a, que peut ont dire ?
5. déterminer les vecteurs vitesse et accélération en coordonnées intrinsèque.
6. définir les équations paramétriques du mouvement en coordonnées polaire ( r(t) et (t) )
7. déduire les  composantes polaires de la vitesse.

Posté par re : cinématique du point 24-03-18 à 15:48

Bonjour,

1) Il faut exprimer t en fonction de x : $\frac{1}{3} arccos(\frac{x}{4})$ et injecter cette valeur de t dans l'expression pour y. En sachant que $sin(arccos(x)) = \sqrt{1-x^{2}}$ on aura $y = \sqrt{16 - x^{2}}.$ Tu peux tracer maintenant et tu auras bien la trajectoire du corps étudié dans le plan (Oxy).

2) Il suffit de dériver x et y par rapport à t. Pour le module $v = \sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}.$

3)En dérive encore une fois et pour le module c'est la même relation avec les composantes de l'accélération.

4) Une fois que v et a sont calculés il n'y a plus qu'à calculer le produit scalaire entre v et a donc en faisant la somme du produit des composantes suivant x et y.

5) Voir repère de Frenet.

6) Il s'agit d'un passage de coordonnées cartésiennes à polaires. $r(t)^{2} = x(t)^{2}+y(t)^{2}$ et $x = r cos(\theta) , y = r sin(\theta)$ .

7) En polaire : $\vec{v} = \dot{r} \vec{e}_{r} + r \dot{\theta} \vec{e}_{\theta}.$
Donc une fois qu'on a r et $\theta$ on arrive aux composantes polaires de la vitesse.

Avec ces indications tu devrais y arriver.