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Chute avec résitance de l'air linéaire

Posté par
nicom 27-03-13 à 18:16

Bonjour à tous!

J'ai un (gros) problème.
Il s'agit de la chute d'un objet sans vitesse initiale lorsque la résistance de l'air est proportionnelle à la vitesse ( $\vec{F_r}=-b\vec{v}$ où b est une constante).

Tentative de résolution (l'axe Oy est dirigé vers le haut => le poids est dirigé vers le bas. L'objet chute sa vitesse est donc orientée vers le bas et en conséquence la force de frottement vers le haut).

$\vec{F_{r_y}}=b\vec{v_y}$ (l'indice y dénote le projeté sur Oy)

$\Sigma \vec{F} = \vec{P} + \vec{F_r}=m\vec{a}$

$m\frac{dv_y}{dt}=-mg+bv_y$

Soit la vitesse limite est $v_{lim}=\frac{mg}{b}$

$m\frac{dv_y}{dt}=b(v_y-v_{lim})$

$\frac{dv_y}{(v_y-v_{lim})}=\frac{b}{m}dt$

$ln(\frac{v_y-v_{lim}}{v_0-v_{lim}})=\frac{b}{m}t$

$v_y=v_{lim}+(v_0-v_{lim})e^{\frac{b}{m}t}$

Ce résultat est absurde car, avec $v_o=0$ , $\lim \limits_{t \to +\infty}v_y=-\infty$ .
Par définition on devrait obtenir : $\lim \limits_{t \to +\infty}v_y=v_{lim}$ .

Cela fait près de deux jours que je cherche et je ne trouve pas d'où vient l’erreur...

Merci de votre aide et à bientôt,
Nicolas

Edit Coll : titre

Posté par re : Chute libre avec résitance de l'air linéaire 27-03-13 à 18:23

Pardon pour l'erreur dans le titre...

Je ne trouve pas de fonction d'édition le titre correct est "Chute avec résitance de l'air linéaire" si quelqu'un peut corriger...

Posté par re : Chute avec résitance de l'air linéaire 27-03-13 à 19:29

bonsoir

quelle que soit l'orientation de Oy on a la relation vectorielle: $\vec F$ = - b

donc si Oy est orienté vers le haut, on a: my" = -by' -mg

d'où y' = mg/b(e^-bt/m - 1) (si y'_o=0)
et y' tend vers -mg/b quand t -> , ce qui me paraît normal

sauf erreur

Posté par re : Chute avec résitance de l'air linéaire 27-03-13 à 19:48

Bonsoir,

Merci à Coll pour la correction du titre et à Krinn pour la réponse rapide.

Je comprends.

Je crois que mon erreur vient du fait que lors de mon bilan des forces j'ai inclut la résistance de l'air, alors qu'en fait son sens varie en fonction des variation du sens de $\vec{v}$ .

Merci encore et bonne soirée,
Nicolas

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