Bonjour, je poste aujourd'hui ce problème, j'aimerai bien qu'on m'aide à le résoudre, je vous remercie par avance.

Soit un cylindre chauffé par conduction pendant un temps donné. On suppose que la température ne varie que selon une dimension (1D). L'équation d'évolution de la température est alors donnée par :




On appelle Δt le pas en temps et Δr, le pas en espace.
On note T_iⁿ, l'approximation de T au nœud i, à l'instant n.
1) Déterminez l'équation discrétisée par différences finies (dérivées centrées) en fonction du degré d'implicité pour r ≠ 0. On adoptera un schéma en (Δt,Δr²)
2) Donnez l'équation pour un schéma purement explicite.
3) Estimez les conditions de stabilité de ce schéma.

On s'intéresse maintenant à l'équation pour r = 0.
4) Donnez l'équation du développement limité de ( δT/δr ) au second ordre.
5) Ecrivez l'équation (1) en r=0, en prenant en compte la symétrie du problème qui permet d'annuler un des termes.
6) En déduire l'équation discrétisée en r=0 en prenant en compte la symétrie du problème.
7) Estimez les conditions de stabilité pour un schéma purement explicite.

Merci, amicalement.