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Changement de référentiels : cas circulaire.
Bonjour,
Le problème que je souhaite vous présenter vous paraitra sans doute trivial, mais le fait est qu'en lisant on énoncé je ne suis même pas sûr par quoi commencer. Voici donc l'énoncé suivi de ma première tentative.
On considère un disque qui présente un sillon circulaire de rayon R concentrique. Le disque est mis en mouvement avec une vitesse angulaire Ὠ0 constante dans un plan horizontal. Une bille de masse m est lancée à vitesse constante par rapport au disque dans le sillon.
Si le sillon exerce une force de réaction horizontale F sur la bille pour éviter qu'elle s'échappe, calculer la vitesse v0 au-delà de laquelle la bille s'échappera du sillon.
On négligera la gravité. On rappelle que l'accélération a' de la bille dans le repère tournant du disque est reliée à l'accélération a dans le repère absolu via l'équation : a' = a - Ὠ0 ^ (Ὠ0 ^ r) - 2(Ὠ0 ^ v')
En fait ce qui me pose le plus de difficulté c'est ce dernier paragraphe : pour calculer la vitesse absolue je n'ai à priori pas besoin de connaître la formule de l'accélération absolue. Je sais que le mouvement rotationnel est uniforme et je sais que
Vabsolue = Ventrainement + Vrelative
Et ici Ve = (dOO'/dt) + Ὠ' ^ O'M + v' avec Ὠ' = (dϴ/dt)*vecteur(eϴ)
O'M = R*vect(er)
Et (dOO'/dt) = 0
Donc Ve = (dϴ/dt)*vecteur(eϴ) ^ R*vect(er) = - R*(dϴ/dt)*vect(ez)
Après cela, je bloque pour trouver le lien avec la force de réaction :
F = ma = a = ma' + mὨ0 ^ (Ὠ0 ^ r) + 2m(Ὠ0 ^ v')
Pourriez-vous m'accorder le temps nécessaire pour éclairer ma lanterne sur le pourquoi du comment de la bonne procédure à suivre s'il vous plaît ?
Bonjour
Je pense qu'il faut raisonner dans le repère lié à la terre, assimilé à un repère galiléen et donc utiliser la formule de l'accélération absolue.Evidemment, dans la plupart des filières, celle-ci est à démontrer à partir de la composition des vitesses alors qu'elle est fournie ici sans démonstration.
Plus gênant, le rôle du sillon ne me semble pas correctement modélisé. Imagine le cas limite trivial d'une vitesse absolue et d'une vitesse d'entraînement toutes deux nulles. La bille serait en équilibre alors qu'avec ton énoncé, l'existence d'une force centripète de norme constante la mettrait en mouvement vers le centre du disque. A mon avis, l'existence du sillon exerce une force radiale dont la norme ne peut dépasser une valeur Fmax sous peine de voir sortir la bille du sillon. Je te suggère donc d'appliquer la relation fondamentale de la dynamique dans le repère terrestre en faisant intervenir une force horizontale radiale de vecteur , de projeter cette relation suivant un axe radial puis d'écrire : F
Fmax. Tu en déduira une inégalité vérifiée par la vitesse.
Mais dans ce cas, une troisième force (autre que la gravité) est requise pour le mouvement uniforme, autrement on aura : ma = F.er - F.er = 0, c'est à dire un cas statique. Et on se retrouve finalement dans la même situation pour notre problème qu'avec une seule force : comment trouver une vitesse limite à partir seulement de la formule : a' = a - Ὠ0 ^ (Ὠ0 ^ r) - 2(Ὠ0 ^ v') ?
La force F n'est évidemment pas la seule à prendre en compte. L'expression de l'accélération dépend de la vitesse. Il ne s'agit pas d'un problème de statique. Relis bien mon précédent message.
Bonsoir,
@ Nallitsac : pourrais-tu mettre ton niveau d'étude à jour sur ton profil ?
ESPACE MEMBRE / Clique sur ton pseudo / Mon Compte / Mon Profil
@ gbm D'accord, c'est modifié.
@vanoise Excusez-moi mais je crois au contraire que la force F est la seule à prendre en compte dans le problème : elle est la seule évoquée et je n'ai tout simplement aucune autre donnée.
Donc on peut déduire l'accélération absolue depuis la vitesse absolue : avec V = Vr + Ve = Vr + - R*(dϴ/dt)*vect(ez) on a :
ae = +R*(dϴ/dt)²*vect(er) et a = a' + ae + ac (pas d'acc tangentielle car mouvement uniforme)
Donc a = a' + Ὠ0 ^ (Ὠ0 ^ r) + 2(Ὠ0 ^ v')
= a' + R*(dϴ/dt)²*vect(er) + 2(Ὠ0 ^ v')
Et après je n'arrive pas à isoler la vitesse relative v', ni même trouver une éventuelle vitesse absolue v dans cette équation.
Je crains ne vraiment pas comprendre le principe de cet exercice. Pourriez-vous être plus spécifique s'il vous plaît ?
je crois au contraire que la force F est la seule à prendre en compte dans le problème
Et le poids ? Et la réaction de l'axe ? Quand tu ne comprends pas ce qu'un "aidant" peut écrire, ce n'est peut-être pas parce qu'il n'est pas assez précis ("spécifique" comme tu écris), c'est peut-être parce que tu n'as pas assez réfléchi et/ou pas assez bien compris ton cours...
Je crains ne vraiment pas comprendre le principe de cet exercice
Cet exercice est en fait extrêmement simple et ne nécessite pas l'utilisation d'un double produit vectoriel comme le suggère l'énoncé.
La vitesse relative est évidemment la vitesse par rapport à la gouttière :
La vitesse d'entraînement est la vitesse du point coïncidant, ici la vitesse par rapport à la terre quand la bille est immobile par rapport au disque :
La vitesse par rapport à la terre (vitesse absolue est ainsi :
Tu peux traiter simplement le problème comme celui d'un mouvement circulaire uniforme par rapport à la terre de rayon de trajectoire R et de vitesse angulaire
Je te laisse en déduire l'accélération absolution et la valeur maximale vo de v pour que la bille ne sorte pas du sillon.
PS : tel que l'énoncé est posé et pour une meilleure compréhension, il me semble intéressant de retrouver l'expression de l'accélération absolue en utilisant la méthode de composition des accélérations ou la formule fournie.
D'accord. Donc on a m = N + P + F et dans le référentiel du disque définit par trois axes cartésiens ux, uy et uz, on a : ar = a - 2Ὠ ^ v' soit mar = P + N - 2mὨ ^ v'
Et Ὠ ^ v' = (v0Ὠ0sin(ϴ)).uy - (v0Ὠ0cos(ϴ)).uz
En ne nous intéressant qu'à l'axe de rotation uy, on obtient : may = Ny - 2mv0Ὠ0sin(ϴ)
Et Ny = 2mv0Ὠ0sin(ϴ)
Donc vitesse limite v0 = Ny / [2mὨ0sin(ϴ)]
Pouvez-vous me dire si cela est correct s'il vous plaît ?
Il faut travailler en coordonnées polaire en raisonnant dans la base locale orthonormée directe .
Tu dois revoir au besoin les propriétés du mouvement circulaire uniforme. Mon dernier message te permet d'obtenir directement, sans calcul, l'expression de l'accélération absolue. Tu projettes ensuite la relation fondamentale de la dynamique suivant et le problème est terminé !
Comme déjà dit, je pense que le concepteur de cet énoncé qui, semble-t-il, aime bien compliquer ce qui est simple, aimerait que tu vérifie que l'expression hyper simple de l'accélération absolue est conforme à la formule de composition des accélérations ou à la formule qu'il fournit.
Franchement... Je ne suis pas certain que tu asi bien compris les bases du programme...
Il faut tenir compte de la vitesse absolue ici pour obtenir l'accélération absolue :
Applique maintenant la relation fondamentale de la dynamique en projection sur pour obtenir la valeur limite de la vitesse relative noté vo par ton énoncé. Il est impératif de respecter les notations imposées par l'énoncé...
Tu pourras ensuite vérifier que cette accélération absolue est la somme de trois termes : l'accélération relative, l'accélération d'entraînement et l'accélération de Coriolis.
En projection sur l'axe er : maa = -m((v+RὨ)²/R).ur donc
v = RὨ - sqrt(aR)
Et -(v+RὨ)² = -(v² + 2vRὨ + (RὨ)²) donc -(v+RὨ)²/R) = -(v²/R + 2vὨ + RὨ²)
Donc accélération relative ar = v²/R
accélération d'entraînement ae = -RὨ² -> Ὠ ^ (Ὠ ^ R)
et accélération de coriolis ac = 2vὨ -> 2Ὠ ^ v
Est-ce correct ?
Franchement...Tu n'es pas capable d'écrire la relation vectorielle traduisant la relation fondamentale de la dynamique puis de la projeter sur ??? Tu as tous les éléments dans les messages précédents...
Pour les trois composantes de l'accélération : il y a de bonnes choses mais il faut être rigoureux et écrire les expressions des vecteurs accélération pour vérifier la cohérence du résultat fourni dans mon message du 30-05-22 à 17:20.
Cela vous ennuierait-il de m'aidez plutôt que de me faire tourner en rond et profiter de chaque nouveau message pour étaler vos condescendantes insultes ? Quel est le problème avec ma notation ?
La relation vectorielle traduisant la relation fondamentale de la dynamique projeté sur ur est-elle oui ou non ma = -m((v+RὨ)²/R).vecteur(ur) ?
Bonjour,
@Nallitac : ce n'est pas en postant le même message à plusieurs endroits que ça va te faire acquérir les fondamentaux en mécanique :
la FAQ du forum
) :
vanoise a déjà la gentillesse d'accepter de commencer l'échange alors que les fondamentaux en mécanique n'ont pas été faits par tes soins (extrait de
Statique et dynamique - Les lois de Newton), échange que j'aurais refusé de faire sans cela :
Lorsqu'on aborde un problème de mécanique il est primordial de suivre systématiquement la démarche qui suit :
1) Faire un croquis de la situation.
2) Définir le système d'étude : "le système étudié est ... de masse ... et de centre d'inertie ...".
3) Choisir un référentiel et définir un repère d'étude (le représenter sur le croquis).
4) Faire le bilan des forces appliquées au système et les représenter sur le croquis.
5) Appliquer la 2ème loi de Newton pour trouver la relation entre l'accélération du mobile et la résultante des forces appliquées au système.
6) Projeter cette relation (vectorielle) sur un ou plusieurs axes afin d'obtenir les équations du mouvement.
7a) Si les forces sont connues : intégrer les composantes de l'accélération (ax, ay), puis celles de la vitesse (vx, vy) pour obtenir les lois horaires du mouvement (x(t) et y(t)) en exploitant les conditions initiales (voir § IV.3).
7b) Si l'accélération est connue, il est alors possible d'en déduire des informations sur les forces (voir § IV.4).
Tu ferais bien de commencer par cela et de détailler étape par étape ton raisonnement pour lui simplifier la tâche.
Enfin, pour rendre la lecture plus aisée, on a des utilitaires pour écrire des relations vectorielles :
guide latex
présent sous la zone de saisie du message. La liste complète des caractères mathématiques est disponible dans le 
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