Bonjour
Il faut utiliser la composition des vitesses :  en vecteur :
La vitesse absolue (celle du bateau par rapport à la berge) est égale à la somme de la vitesse relative (celle du bateau par rapport à l'eau) et de la vitesse d'entraînement (celle de l'eau par rapport à la berge).
Aide-toi d'un schéma que tu pourras éventuellement scanner et poster ici.
Je te olaisse réfléchir et poster une solution.

Vous ne m'avez pas répondu pour la 1ere question.  
J'ai trouvé Vr = 0,3 m/s.  et phi =π/2


2- On a deux référentiels : un référentiel absolu d'origine A
et un référentiel relatif d'origine l'eau ayant tous deux leurs axes parallèles

Tu n'as pas compris. La vitesse du bateau par rapport à la terre, c'est à dire la vitesse absolue doit être orientée de A vers B, le point sur l'autre berge en face de A. Le point C de ta figure est sans intérêt. Tu connais la vitesse d'entraînement : celle de l'eau par rapport à la terre :



Ces deux vecteurs sont parfaitement définis, à la fois en direction, en sens et en norme puisque :

où l désigne la largeur du fleuve, également notée ”d” dans ton énoncé...

Facile alors d'obtenir le vecteur vitesse relative puisque :



Tu postes au niveau math spé : j'imagine que tirer les conséquences d'une soustraction de deux vecteurs ne te pose pas de difficulté. Tu peux évidemment t'aider d'un schéma où seront représentés les divers vecteurs vitesse.

j'ai très bien compris maitenant



et donc


comment je determine l'angle alors ?

la chose qui m'a melangé c'est que dans l'énoncé c'est dit :

Citation :
Pour ce faire, il part de A avec une vitesse relative constante faisant un angle avec la berge

Ta figure ne précise pas le repère de projection et les vecteurs unitaires ; difficile de vérifier tes résultats...
Autre chose : cet énoncé ne semble pas se préoccuper du nombre de chiffres significatifs ; dans ces conditions, pour ne pas risquer d'être pénalisé un jour de concours ou d'examen, il est préférable de conserver en mémoire de la calculatrice tous les chiffres significatifs pour arrondir seulement le résultat final. Trop d'arrondis dans les calculs intermédiaires finissent par fournir au final un résultat erroné. Il ne faut pas arrondir la norme du vecteur vitesse absolue à 0,3m/s pour le calcul de la norme du vecteur vitesse relative.
Représente les trois vecteurs vitesse sur la figure. Tu verras qu'il est assez facile alors d'obtenir la valeur de l'angle .

Voici mon schéma



_{* mmalou > Image recadrée *}

OK pour le repère et les vecteurs et mais le représentant du vecteur ?
Ce tracé te permettra de visualiser l'angle puis de le calculer. Au niveau math spé, cela ne devrait pas poser de problème, surtout après le rappel de krinn dans son récent message du  09-09-21 à 20:27 !
Il te faut reprendre le calcul des normes des différents vecteurs vitesse en tenant compte de mes remarques sur le nombre de chiffres significatifs.

Je comprends pas je n'ai pas bien représenter Vr ?

svp je ne peux pas continuer l'exercice sans votre reponse

Ta représentation de   est totalement irréaliste ! le courant tend à entraîner le bateau dans le sens du courant donc dans le sens positif de l'axe (Ax). Pour que le bateau puisse se déplacer en ligne droite vers B, il faut nécessairement que le vecteur   ait une composante négative suivant l'axe des x .
Le schéma ci-dessous devrait t'aider. Attention : il n'est pas à l'échelle pour plus de clarté. Je n'y ai fait qu'illustrer la relation vectorielle :


Reprends aussi le calcul de la norme v_r en tenant compte de mes précédentes remarques.

et donc

Excusez moi

Il suffit donc d'appliquer tan et on trouve la valeur de l'angle

Tan = va/ve

D'accord pour la tangente, notée habituellement "tan" et non Tan..
Étourderie de signe :

Merci bien

Le vecteur est maintenant orienté de A vers C ; l'angle entre l'axe (Ax) et ce vecteur peut prendre une valeur quelconque telle que :
0<<  (en radians).

mais pourquoi dans les deux questions, les énoncés disent qu'il part du point A avec une vitesse relative ?

Normalemant en A  c'est la vitesse absolue.

Je n'arrive pas à comprendre

Puisque est un vecteur constant et que est aussi un vecteur constant, le vecteur somme, c'est à dire le vecteur est aussi un vecteur constant au cours du mouvement ; le mouvement de A à C est un mouvement rectiligne uniforme. En tout point de la trajectoire, c'est à dire du segment [AC], les trois vecteurs existent avec la relation entre les trois :


Ton message de 12h48 n'a pas de sens dans ces conditions, même s'il est commode de représenter, comme je l'ai fait, les trois vecteurs vitesse au point A.
Il faut reprendre la représentation des trois vecteurs vitesse sur le modèle de mon schéma mais avec un vecteur     maintenant orienté de A vers C , soit incliné de l'angle quelconque par rapport à l'axe (Ax).
Tu n'as sans doute pas le temps d'utiliser un logiciel pour le schéma mais essaie tout de même de faire quelque chose de propre et de soigné : traits tirés à la règle, indication claire des angles...

Non ! tu raisonnes comme si l'angle était onfondu avec l'angle . Ces deux angles ne sont pas égaux a priori !

l'angle doit il apparaitre dans les coordonnées de Vr ?

mais l'angle c'est l'angle de Va

Pour la question je me dis qu'il faut trouver seulement

OK ; commence effectivement par trouver la condition sur qui minimise la durée de traversée. Le résultat est très simple mais demande à être démontré rigoureusement...

Comme je l'avais dit :

    (1)

Or,

    

   et    

en remplaçant dans (1), j'obtiens :






Pour que t soit minimal il faut que sin soit maximale ( sin =1)

Ainsi = /2

C'est bien cela !
La suite est facile. Là encore, tu as intérêt à faire un schéma représentant les trois vecteurs vitesse dans le cas =/2 rad

Le schéma devient donc :



Pour la durée minimale, je remplace dans (*) j'obtiens



Ce qui est logique car moins C est éloigné moins sera la durée de traversée

Le chemin parcouru consiste à trouver AC ?

si oui

on a deja Or BC = ut

donc   or d'après (**)

donc

finalement AC =

D'accord !

Merci beaucoup pour votre aide