Bonjour
Il faut effectuer la somme vectorielle des deux vecteurs champ dans les différents cas. Je veux parler du vecteur champ créé par le courant et de la composante horizontale du vecteur champ magnétique terrestre.

Complément à mon précédent message :
* tu as oublié une racine carrée dans l'expression de la pulsation propre ;
* le cercle est-il horizontal et le fil parcouru par le courant vertical ? Si oui : il y a incohérence concernant le rapport T₂/T_o.

Ce n'est pas précisé par l'énoncé, mais effectivement cela semble bizarre

Avec le cercle horizontal et le fil vertical, les mesures 1,3,4 semblent cohérentes à condition que 3 soit orienté vers le nord magnétique et et 1 vers le sud.Ainsi en 1 et 3, la composante horizontale du champ magnétique terrestre et le vecteur créé par le courant sont orthogonaux de sorte que la norme du vecteur somme soit la même en 1 et 3, ce qui implique T1=T3.
En 4 les vecteurs et sont colinéaires et de même sens. La norme de leur somme est maximale de sorte que T4 inférieure à T1=T3. En revanche, en 2, les vecteurs   et sont colinéaires et de sens opposés. La norme de leur somme est minimale et devrait conduire à T4>To.
Bref : ton énoncé n'est pas cohérent avec un fil vertical et un cercle horizontal...
D'autre part, R=1cm : cette distance est faible : les boussoles sont proches les unes des autres et s'influencent mutuellement : ne pas oublier qu'une boussole est un petit aimant. Il faudrait donc envisager une seule boussole que l'on déplacerait d'une position à l'autre pour les mesures...

Effectivement, il doit s'agir d'une erreur d'énoncé.
Merci pour la remarque très pertinente vis à vis des boussoles, je n'y avais pas pense!