Niveau maths sup

champ magnetique au voisinage de l'axe d'une spire

Posté par
yosh2 20-06-21 à 14:35

bonjour
pour le calcul du champ magnétique au voisinage de l'axe d'une spire , on montre par des arguments de symetries que $\vec{B}(r, z) = B_r\vec{e_r}+B_z\vec{e_z}$ , ensuite pour calculer le flux a travers une surface fermée (en l'occurence un cylindre de base de rayon r et de hauteur dz) on ecrit $\int\int \vec{B}\vec{dS} = \int\int B_z(z+dz)dS_1-\int\int B_z(z)dS_1 +\int\int B_r(r)dS_L$
pourquoi est ce que la composante selon e_z (resp e_r) depend uniquement de z (resp r) ? en effet j'ai l'impression qu'elle doivent dependre de r et z a la fois or ceci complique le calcul de l'integrale.
merci a vous

Posté par re : champ magnetique au voisinage de l'axe d'une spire 20-06-21 à 18:14

Bonjour

Excellente question ! C'est vrai que certain cours oublie de faire cette justification... Puisque le vecteur champ se détermine au voisinage de l'axe de symétrie, un développement de Taylor au premier ordre permet d'écrire ;

$B_{z}\left(r,z\right)=B_{z}\left(0,z\right)+r\cdot\left(\frac{\partial B_{z}}{\partial r}\right)_{r=0}+o(r^{2})$

Or, aucun courant ne circule le long de l'axe de sorte que le vecteur densité de courant est le vecteur nul en tout point de cet axe. L'expression locale du théorème d'Ampère permet d'écrire qu'en tout point de l'axe :

$\overrightarrow{rot}\left(\overrightarrow{B}\right)=\overrightarrow{0}$

Je te laisse vérifier que cela conduit bien à :

$\\ \left(\frac{\partial B_{z}}{\partial r}\right)_{r=0}=0$

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