Niveau licence

champ electrostratique en un point B d'une sphere-grad(V)

Posté par
meruemu 30-04-20 à 23:42

Bonsoir!
j'aurai besoin d'aide à propos de l'exercice suivant:
Soit une sphère de centre O et de rayon R, A et B deux points fixes de cette sphère diamétralement opposés et une constante. Pour un point M de la sphère, on définit l'angle $\theta =(\vec{OA};\vec{OM})$ compris entre 0 et π. La sphère porte la densité superficielle de charge $\huge \sigma (M)=\sigma_{0}\cos\frac{\theta }{2}$ Calculer le potentiel et le champ en B.

J'ai pu déterminer le potentiel et je me suis retrouvé avec $\huge V(B)=\frac{\sigma_{0}\ R }{2\varepsilon_{0} }$
Concernant le champ, j'ai pensé à le déduire directement du potentiel calculé précédemment en utilisant l'opérateur gradient.
Par conséquent j'en aboutis à l'expression $\huge \vec{E(B)}=-\vec{grad}(V)=-\frac{\sigma_{0} }{2\varepsilon _{0}}\vec{u}$
Mais le signe moins m'intrigue assez en faites et le plus inquiétant est que je dois normalement trouver $\huge\ {E}(B)=\frac{\sigma_{0} }{4\varepsilon _{0}}$ ; résultat que l'on retrouve en effet en intégrant les champs elementaires dus aux charges de la distribution surfacique
Je ne comprends pas, cependant, la raison pour laquelle je n'aboutis pas à la même expression en utilisant le gradiant
Merci de bien vouloir m'eclaircir sur ce propos
Cordialement!

Posté par re : champ electrostratique en un point B d'une sphere-grad(V) 01-05-20 à 07:03

Bonjour,

L'opérateur gradient s'applique à une fonction, et V(B) n'est pas une fonction, mais la valeur de V(M) pou M=B.

Posté par re : champ electrostratique en un point B d'une sphere-grad(V) 01-05-20 à 08:34

Aaah d'accoord vous avez raison gts2 je comprends mieux.
Si j'interprete bien ce que vous dites: le probleme est que pour le calcul du potentiel l'expression de l'inverse de la distance utilisee est specifique au point B, ce qui particularise dès lors le potentiel en B et par consequent ce que j'obtiens est un scalaire bien fini et non une fonction de R comme je le pensais.
Maintenant que j'y pense...et s'il m'etait demandé de calculer le potentiel en un point quelconque de la sphere??
En utilisant la methode directe il me manquerait la donnee d'un autre angle non? Sinon il semble que, dans ce cas, on puisse le deduire du champ, champ que l'on peut calculer avec le theoreme de gauss? Est ce une bonne methode? Y aurait il d'autres methodes?
Merci d'avance!

Posté par re : champ electrostratique en un point B d'une sphere-grad(V) 01-05-20 à 09:02

Bonjour,

Citation :
et s'il m'était demandé de calculer le potentiel en un point quelconque de la sphère ? En utilisant la méthode directe il me manquerait la donnée d'un autre angle non ?

Votre autre angle serait l'angle $\phi$ des coordonnées sphériques, mais au vu de la symétrie du problème (rotation autour de AB), V ne devrait pas en dépendre.

Citation :
Sinon il semble que, dans ce cas, on puisse le déduire du champ, champ que l'on peut calculer avec le théorème de Gauss ? Est ce une bonne méthode ?

Le théorème de Gauss n'est simple que si l'on a des symétries fortes (il faut que E normal soit constant sur la surface pour avoir un calcul possible)

Citation :
Y aurait-il d'autres méthodes ?

Ici en dehors de l'intégration, je ne vois pas trop.

Posté par re : champ electrostratique en un point B d'une sphere-grad(V) 01-05-20 à 17:55

Citation :
Votre autre angle serait l'angle \phi des coordonnées sphériques, mais au vu de la symétrie du problème (rotation autour de AB), V ne devrait pas en dépendre

Aah je vois! Donc en faites n'importe quel point B de la sphère a la meme expression du potentiel V(B); en tenant compte du fait qu'à chaque fois que je veux determiner le potentiel en un point quelconque B de la sphère, je peux toujours me fixer A, lui etant diametralement opposé, afin de definir $\theta$
. C'est ça??

Citation :
Le théorème de Gauss n'est simple que si l'on a des symétries fortes (il faut que E normal soit constant sur la surface pour avoir un calcul possible)

serait-ce parce que dans notre cas comme $dE_{_n}}$
depend de $\theta$ (je crois que c'est lié au fait que le champ dû à chaque charge elementaire depend de la densité sufacique de charges au niveau de chaque charge source $\sigma _{0}cos(\frac{\theta }{2})$ et on voit que la densité est liéé à la variable $\theta$ ?? )
, on ne peut le sortir de l'intégrale de gauche dans l'egalité $\int \int \vec{E_{n}}\vec{ds}= \int \int \frac{\sigma _{0}cos(\frac{\theta }{2})ds}{\varepsilon _{0}}$ ? c'est la seule difficulté il me semble?

Posté par re : champ electrostratique en un point B d'une sphere-grad(V) 01-05-20 à 18:09

"je peux toujours me fixer A, lui étant diamétralement opposé, afin de définir $\theta$ "

Vous allez trop vite : la charge surfacique ne va pas changer parce que vous changez le point A ! L'axe AB initial définit votre $\sigma(\theta)$ , si vous changez d'axe et la définition de $\theta$ , la fonction $\sigma(\theta)$ va changer ! Et il faudra tout recommencer. Ce que j'ai voulu dire c'est que l'ensemble des points M d'un parallèle (A et B étant les pôles, faire un tour sur le parallèle revient à faire varier $\phi$ de 0 à 2) aura la même valeur de V .

Citation :
c'est la seule difficulté il me semble ?

Oui mais elle empêche le calcul de E, et comme c'est le but du jeu...

Posté par re : champ electrostratique en un point B d'une sphere-grad(V) 01-05-20 à 18:41

Citation :
Oui mais elle empêche le calcul de E, et comme c'est le but du jeu...

en effet oui

Citation :
Vous allez trop vite : la charge surfacique ne va pas changer parce que vous changez le point A ! L'axe AB initial définit votre \sigma(\theta), si vous changez d'axe et la définition de \theta, la fonction \sigma(\theta) va changer ! Et il faudra tout recommencer. Ce que j'ai voulu dire c'est que l'ensemble des points M d'un parallèle (A et B étant les pôles, faire un tour sur le parallèle revient à faire varier \phi de 0 à 2) aura la même valeur de V .

D'accooord je vois.
Mais si l'énoncé de l'exercice demandait de calculer le potentiel en un point quelconque de la sphére en supposant la densité surfacique toujours non constante, le meme procede que precedemment permettrait d'aboutir au meme resultat non?? donc le resultat obtenu pour V(B) est une caractéristique....aaaah okkk je crois que je viens de comprendre ce que vs avez voulu dire...en fait on obtient le meme resultat seulement lorsque la definition de la densité ne change pas!!

Posté par re : champ electrostratique en un point B d'une sphere-grad(V) 01-05-20 à 18:59

vraiment merci gts2
excellente soirée!

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