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Niveau maths sup
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Champ Électrostatique

Posté par
kamikaz
22-01-23 à 17:11

Bonsoir,

Merci.

On considère un champ électrostatique créé dans un vide par une distribution de charges à symétrie sphérique. La composante radiale de ce champ dépend de la distance r au centre O de la distribution selon :

E(r) = \begin{cases} \dfrac{k}{2 \epsilon_0} ~~~~~\text{si } 0 < r < R \\\\ \dfrac{k R^2}{2 \epsilon_0 r^2} ~~~~~ r > R \end{cases}~~~~~k, R > 0

Dans ce problème, la densité volumique de charges \rho vérifie : \rho = \dfrac{\epsilon_0}{r^2} \dfrac{d(r^2 E)}{dr}

1) Donner les différentes variables dont dépend le champ électrostatique en coordonnées sphériques ?

Quelle est la direction direction du champ électrostatique ?

2) On suppose qu'il n'y a pas de charges à l'infini et que les charges infiniment éloignées n'interagissent pas entre elles.

Trouver l'expression du potentiel V.

3) Tracer l'allure de V en fonction de r.

4) Trouver l'expression de la densité volumique de charges \rho.

5) Tracer l'allure de la densité volumique de charges en fonction de r.

6) Trouver l'expression de la charge dq d'une couche sphérique de centre O comprise entre r et r + dr.

7) Déduire alors l'expression de la charge totale q_0 de la distribution en fonction de k et R.

8) Etablir que pour r > R, on a l'équivalence de cette distribution avec une charge électrique ponctuelle dont on donnera la valeur et la position.

9) On considère maintenant deux charges ponctuelles q_0 et q = -q_0 placées à une distance a l'une de l'autre en O et A respectivement. On notera \vec{u} = \dfrac{\vec{OA}}{OA}.

10) Donner l'expression de la force \vec f exercée par la charge q_0 sur la charge q.

11) On considère, cette fois ci le point P équidistant de O et A. Déterminer la direction du champ électrostatique créé en P par les charges q et q_0.

12) Donner le sens de ce champ à l'aide d'un schéma.

13) Si OP = AP = a, calculer la valeur de la norme du champ.

14) Calculer le potentiel V' créé en P par les charges q et q_0 dans les mêmes conditions qu'à la question 13).


Réponses

1) On a :

E(r) = \begin{cases} \dfrac{k}{2 \epsilon_0} ~~~~~\text{si } 0 < r < R \\\\ \dfrac{k R^2}{2 \epsilon_0 r^2} ~~~~~ r > R \end{cases}~~~~~k, R > 0 en coordonnées cartésiennes.

J'ai du mal à passer en coordonnées sphériques..

Posté par
vanoise
re : Champ Électrostatique 22-01-23 à 17:49

Bonjour
Comme toujours en électrostatique, il faut commencer par raisonner sur les symétries et les invariances de la source du champ. Cela permet de répondre de façon précise à la première question. Pour la deuxième, tu connais la relation entre vecteur champ et potentiel.
Je te laisse réfléchir et proposer une solution...

Posté par
kamikaz
re : Champ Électrostatique 22-01-23 à 20:33

Peut être que l'énoncé devrait nous donner un schéma..

Là j'ai essayé avec le schéma qui se trouve dans mon cours.

Champ Électrostatique

(\pi+) est un plan de symétrie de la source si, à tout point P de la distribution de charge électrique où la densité volumique de charge est \rho P , on peut faire correspondre un symétrique P' par rapport à (\pi+) où la densité de charge est : \rho P' = \rho P

D'après l'énoncé, la densité volumique de charges \rho vérifie : \rho = \dfrac{\epsilon_0}{r^2} \dfrac{d(r^2 E)}{dr}.

Donc \left(\dfrac{\epsilon_0}{r^2} \dfrac{d(r^2 E)}{dr}\right)_{P'} = \left(\dfrac{\epsilon_0}{r^2} \dfrac{d(r^2 E)}{dr}\right)_P

Considérons d \tau un volume élémentaire entourant P ou P'.

La charge \rho_P . d _\tau = \rho . d_\tau \Longrightarrow \left(\dfrac{\epsilon_0}{r^2} \dfrac{d(r^2 E)}{dr}\right)_P .  d_\tau = \dfrac{\epsilon_0}{r^2} \dfrac{d(r^2 E)}{dr} . d_\tau centrée en P crée en M un champ de vecteur :

\vec{d E(P)} = \dfrac{\rho . d_\tau}{4 \pi \epsilon_0}. \dfrac{\vec{PM}}{PM^3} avec \rho = \dfrac{\epsilon_0}{r^2} \dfrac{d(r^2 E)}{dr}

\vec{d E(P)} = \dfrac{d(r^2 E)}{4 \pi r^2 dr}. d_\tau. \dfrac{\vec{PM}}{PM^3}

La charge \rho_P . d _\tau = \rho . d_\tau \Longrightarrow \left(\dfrac{\epsilon_0}{r^2} \dfrac{d(r^2 E)}{dr}\right)_P .  d_\tau = \dfrac{\epsilon_0}{r^2} \dfrac{d(r^2 E)}{dr} . d_\tau centrée en P crée en M un champ de vecteur :

\vec{d E(P)} = \dfrac{d(r^2 E)}{4 \pi r^2 dr}. d_\tau. \dfrac{\vec{P'M}}{P'M^3}

P et P' sont symétriques par rapport à (\pi+) : les distances PM et P'M sont égales. La somme des deux vecteurs champ élémentaires s'écrit :

\vec{dE} = \vec{dE(P)} + \vec{dE(P')} =  \dfrac{d(r^2 E)}{4 \pi r^2 dr}. d_\tau. \dfrac{\vec{PM} + \vec{P'M}}{PM^3}

\vec{PM} + \vec{P'M} = \vec{PH} + \vec{HM} + \vec{P'H} + \vec{HM} = 2. \vec{HM} car \vec{PH} + \vec{P'H} = \vec{0} (raison de symétrie).

Au final :

\vec{dE} = \dfrac{d(r^2 E)}{2 \pi r^2 dr}. d_\tau. \dfrac{\vec{HM}}{PM^3}

Posté par
kamikaz
re : Champ Électrostatique 22-01-23 à 22:15

Si r > R

La composante radiale du champ électrostatique est proportionnelle à 1/r² pour les distances r supérieures à R. Cela signifie que le champ électrostatique diminue plus rapidement à mesure que la distance augmente.

Posté par
kamikaz
re : Champ Électrostatique 22-01-23 à 22:29

Si 0 < r < R, le champ est constant.

Posté par
vanoise
re : Champ Électrostatique 22-01-23 à 23:32

Citation :
Là j'ai essayé avec le schéma qui se trouve dans mon cours.

Bizarre... Ce schéma ainsi que l'extrait de démonstration qui l'accompagne sont tirés d'un document que j'ai eu l'occasion d'écrire il y a quelques années et qui est disponible ici :

Le résultat, considéré par la plupart des professeurs comme un résultat de cours, n'a pas nécessairement à être démontré dans un problème mais doit être parfaitement connu : il est énoncé dans la conclusion du paragraphe I du document :
Conclusion : si la source présente un plan de symétrie passant par un point M, le vecteur champ électrostatique ou le vecteur champ de gravitation en M appartient à ce plan de symétrie.
Ici, Tout plan contenant le centre O et un point M de l'espace est plan de symétrie. Pour appartenir à la fois à l'ensemble de ces plans de symétrie, le vecteur champ en M doit être radial.
Il te faut aussi raisonner sur les invariances. La situation de ce problème est étudié au paragraphe VII.1 du même document.

Posté par
kamikaz
re : Champ Électrostatique 23-01-23 à 04:31

D'accord,

Donc je dois représenter E(r) = \begin{cases} \dfrac{k}{2 \epsilon_0} ~~~~~\text{si } 0 < r < R \\\\ \dfrac{k R^2}{2 \epsilon_0 r^2} ~~~~~ r > R \end{cases}~~~~~k, R > 0 sur le schéma puis passer en coordonnées sphériques c'est cela ?

Posté par
kamikaz
re : Champ Électrostatique 23-01-23 à 05:13

Il y a invariance par rotation d'angle \varphi ou \theta le champ ne dépend que de r, donc \vec{E}(M) = \vec{E}(r).

Tout point M appartient à deux plans de symétrie (M, u_r, u_\theta) et (M, u_\varphi, u_r) donc E appartient à leur intersection.

Il est donc porté par u_r.

Le champ est radial : \vec{E}(r) = E(r) \vec{u_r}

\vec{E}(r) = \begin{cases} \dfrac{k}{2 \epsilon_0} \vec{u_r} ~~~~~\text{si } 0 < r < R \\\\ \dfrac{k R^2}{2 \epsilon_0 r^2} \vec{u_r} ~~~~~ r > R \end{cases}

Le champ électrostatique dépend donc du vecteur \vec{u_r} en coordonnées sphériques.

Posté par
vanoise
re : Champ Électrostatique 23-01-23 à 10:34

Tout à fait d'accord avec ton dernier message !

Posté par
kamikaz
re : Champ Électrostatique 23-01-23 à 11:53

Champ Électrostatique

Je ne vois pas comment le faire, puisque je n'arrive pas à distinguer les coordonnées de E(r)..

Posté par
kamikaz
re : Champ Électrostatique 23-01-23 à 11:54

J'ai juste \|\vec{E(r)} sur 0 < r < R et r > R.

Posté par
vanoise
re : Champ Électrostatique 23-01-23 à 14:01

La source du champ est invariante par rotation autour du point O : O est centre de symétrie pour la distribution de charge. Les coordonnées adaptées à l'étude sont donc les coordonnées sphériques comme indiqué dans le paragraphe VII.1 du document. Je croyais que tu avais compris puisque, dans ton message du 23-01-23 à 05:13, tu évoquais les vecteurs unitaires \vec {u_\varphi} et \vec {u_\theta}. Les coordonnées cylindro-polaires sont adaptées aux distributions de charges présentant seulement un axe de symétrie, l'axe (O,z).
Dans ton message du 23-01-23 à 05:13, tu as correctement répondu à la question 1. Tu peux passer à la question 2. Tu as sûrement étudié en cours la relation entre vecteur champ et potentiel.... La situation est très simple ici puisque la distribution de charges est à symétrie sphérique.

Posté par
kamikaz
re : Champ Électrostatique 23-01-23 à 14:39

Ah désolé, j'ai mal lu ta réponse.
Mais j'aimerais avoir un schéma clair pour la première question.

La relation entre le vecteur champ et le potentiel est définie par la loi de Gauss. Cette loi stipule que le produit scalaire entre le vecteur champ et le gradient du potentiel est égal à la divergence du vecteur champ. Autrement dit, le produit scalaire entre le vecteur champ et le gradient du potentiel est égal à la divergence du vecteur champ. En d'autres termes, le vecteur champ est la dérivée du potentiel.

\Longrightarrow V = \int E(r) dr =   \begin{cases} \dfrac{k r}{2 \epsilon_0} ~~~~~\text{si } 0 < r < R \\\\ -\dfrac{k R^2}{2 \epsilon_0 r} ~~~~~ r > R \end{cases}

Posté par
vanoise
re : Champ Électrostatique 23-01-23 à 15:23

Attention au signe !
La relation entre vecteur champ et potentiel fournit le potentiel à une constante près.
Pour  r supérieur à R ,il suffit de savoir que,en absence de charge à l'infini, V tend vers zéro quand r tend vers l'infini.
Pour r inférieur à R, la continuité du potentiel en r=R permet d'obtenir la constante.

Posté par
kamikaz
re : Champ Électrostatique 23-01-23 à 15:29

Ok, du coup

V = \int E(r) dr =   \begin{cases} \dfrac{k r}{2 \epsilon_0} ~~~~~\text{si } 0 < r < R \\\\ 0 ~~~~~~~~ \text{si }~~~~~ r > R \end{cases}

Posté par
kamikaz
re : Champ Électrostatique 23-01-23 à 16:05

C'est bon ?

Posté par
vanoise
re : Champ Électrostatique 23-01-23 à 18:04

Non. Tu n'as pas corrigé le problème de signe et pas bien compris comment déterminer les constantes que je note K1 et K2. Je corrige :

V_{(r)}=-\int E_{(r)}.dr

donc :

*si  0\leq r\leq R : V_{(r)}=-\dfrac{k.r}{2\varepsilon_{o}}+K_{1}

*si  r>R :  V_{(r)}=\dfrac{k.R^{2}}{2\varepsilon_{o}.r}+K_{2}


Pas de charges à l'infini, donc :

\lim_{r\rightarrow\infty}V_{(r)}=0\quad soit\quad\lim_{r\rightarrow\infty}\left(\dfrac{k.R^{2}}{2\varepsilon_{o}.r}+K_{2}\right)=0

Donc : K2=0 . Ensuite : continuité de V(r) en r=R :

\lim_{r\rightarrow R^{-}}V_{(r)}=\lim_{r\rightarrow R^{+}}V_{(r)} ; donc :

\dfrac{-k.R}{2\epsilon_{0}}+K_{1}=\dfrac{k.R}{2\epsilon_{0}}

Ce qui permet d'obtenir K1... Je te laisse calculer K1 et continuer.

Posté par
kamikaz
re : Champ Électrostatique 23-01-23 à 20:32

Donc K_1 = 2 \times \dfrac{k.R}{2\epsilon_0}

K_1 = \dfrac{k.R}{\epsilon_0}  

3) Comment tracer l'allure ?

Posté par
vanoise
re : Champ Électrostatique 23-01-23 à 23:19

En abscisse, tu choisis arbitrairement une échelle correspondant à la valeur R ; en ordonnée, tu choisis arbitrairement une échelle pour la valeur  \frac{k.R}{2\epsilon_o}. Ensuite tu places les points  de la courbe d'abscisses r=0 et r=R puis tu termines par un tracé à main levée. On te demande l'allure de la courbe, pas un tracé précis.

Posté par
kamikaz
re : Champ Électrostatique 26-01-23 à 17:17

Ok merci beaucoup.

Posté par
vanoise
re : Champ Électrostatique 27-01-23 à 11:15

Voici la courbe V=f(r). Bien sûr il y a continuité du potentiel en r=R mais il y a aussi continuité de la dérivée \frac{dV}{dr} en r=R d'où l'absence de rupture de pente de la courbe en r=R. Cela s'explique par la continuité de E(r) en r=R. Cela ne serait pas le cas pour une distribution surfacique de charge plutôt que volumique.

Champ Électrostatique



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