Bonsoir
L'idée d'appliquer le théorème de Gauss est bonne.
Pour la sphère, il faut reprendre ton calcul et choisir pour surface de Gauss une sphère de rayon r quelconque.
A l'extérieur E dépend de r...
Essaye de poster ton raisonnement.

1) D'après la loi de Gauss, =(intégrale fermée de la surface de Gauss)E.dS=q_intérieur/₀
Le champ électrique étant constant en direction, en sens et en norme, je le sors de l'intégrale. Pour la surface de Gauss, je choisis une sphère de rayon r quelconque, ainsi S=4r².
q_intérieur=4R².
E(z)=R²/r²₀ ez.
Je ne sais pas comment savoir pour les 2 cas.

De plus, je n'arrive pas à me visualiser le champ comme il y a de la symétrie partout.

Tu as simplifié trop tôt.  L'application du théorème de Gauss a une sphère de rayon r quelconque conduit à un vecteur champ électrique radial dont la norme vaut  :
Q_int/(4_o.r²).
Pose toi alors la question de savoir ce que vaut Q_int, la charge à l'intérieur de la sphère de rayon r dans les deux cas  :
r<R
r>R.

D'accord, pour q_int:
-cas r<R q_int=0 car la charge est uniquement sur la surface de la sphère de rayon R. Ainsi, E=0
-cas r>R q_int>0. Ainsi, E=R²/r²₀
Concernant le champ, par symétrie, à l'intérieur le champ est nul (car tout les vecteurs champ électrique s'annule par symétrie) et à l'extérieur, il s'éloigne de la sphère tel une charge ponctuelle positive.

L'étude des symétries conduit à un vecteur champ électrique egal au vecteur nul seulement au centre de la sphère. C'est le théorème de Gauss qui permet de montrer un vecteur champ électrique égal au vecteur nul en tout point à l'intérieur de la sphère.

Très bien, pour la 2):
2)Calculer le champ électrique à l'intérieur d'un fil cylindrique de charge proportionnelle à la distance du centre, c'est-à-dire = k × d ; où k est une constante réelle.
2)Je "créé" un cylindre de Gauss (plus petit que le cylindre originel) afin de mesurer son flux intérieur. L'origine du cylindre de Gauss est confondu avec l'origine du cylindre originel. Il a un rayon R et une longueur L.
Le champ électrique étant orthogonal aux disques "fermant" le cylindre, son produit scalaire est nul. Ainsi, seulement la surface latérale "compte" (S_latérale=2RL et q_intérieur=^L₀dz ²₀d^R₀ kd*r dr=2Lk^R₀r²=2kLR³/3).
E*A=A'/₀ donc E=kR²/3₀

Toi aussi, tu as remarquer que, pour introduire un calcul intégral, appeler "d" plutôt que "r" la distance à l'axe du cylindre, ce n'est pas "terrible". Attention tout de même : R désigne sans doute le rayon du cylindre. A part ces problèmes de notations, ton raisonnement me semble correct. A l'intérieur du cylindre, soit pour r<R, le vecteur champ est radial et de norme :


PS : ce raisonnement n'est rigoureusement valide que pour un cylindre infiniment long. En pratique, il constitue une bonne approximation pour les points assez éloignés des extrémités d'un cylindre réel.

Oui, j'aurais peut-être dû appeler le rayon d.
3) Utiliser le résultat précédent pour pour déterminer le champ à l'intérieur et à l'extérieur d'une sphère de rayon R portant une densité volumique de charge . Ecrire le résultat en fonction de la charge q totale sur la sphère.
3)Le champ électrique n'est pas définit sur une charge mais à une certaine distance d'une charge, par conséquent à l'intérieur de la sphère, le champ électrique n'y est pas définit.
La charge totale de la sphère est : Q=q_totale=*(4R³/3).
Pour le champ à l'extérieur de la sphère, E(M)=kQ/r² er