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champ creer par une couronne circulaire en un point de l'axe Z

Posté par
Nico15110 13-12-17 à 12:39

bonjour , j'ai essayer de calculer le champs creer par cette couronne porteuse d'une charge sufacique sigma uniforme  en utilisant le principe de superposition si quelqu'un pouvait me confirmer la réponse trouvée .

le champs crée par la couronne en 1 pt M de l'axe Z  est donc le champs total crée par le disque de rayon R otés du champs crée par le disque de rayon a
je trouve donc  :
E(M)z = Sgn(z)*( z /20)*((1/(z2+R2)^0.5 )-1/(z2+a2)^0.5))

ensuite j'ai du mal avec les autres question:
tracer la courbe E=E(z) quand a tend vers zéro
a est different de zero et R tend vers + tracer la courbe E(z)
dans ce dernier cas donner l'allure du potentiel V =V(z)

dans l'attente d'une réponse merci  

Posté par
vanoisere : champ creer par une couronne circulaire en un point de l'ax 13-12-17 à 14:03

Bonjour
J'ignore le niveau de ton cours et les exigences de ton professeur. Si l'expression de Ez créé par un disque en un point de son axe de symétrie est admise, le théorème de superposition est effectivement un bon plan.
Si la démonstration est demandée, tu as tout intérêt à déterminer l'expression du vecteur champ élémentaire créé par la couronne élémentaire de rayon r et de largeur dr puis à intégrer le résultat entre r=a et r=R... J'ai l'impression qu'il s'agit de la méthode attendue par le concepteur de l'énoncé dans la mesure où il demande seulement ensuite d'étudier le cas particulier du disque (a0) et le cas particulier du plan uniformément chargé (a0 et R).

Posté par
vanoisere : champ creer par une couronne circulaire en un point de l'ax 13-12-17 à 16:06

Pour t'aider un peu : voici les allures des courbes Ez=f(z) dans les trois cas suivants :
1°) couronne (j'ai choisi arbitrairement R=2a)
2°) disque de rayon R
3°) plan uniformément chargé.
Je te laisse déterminer les expressions de Ez dans les trois cas.
Il est important de remarquer que la fonction f est continue en z= 0 dans le premier cas car l'axe (Oz) ne traverse pas de surface chargée.
Dans les deux autres cas, l'axe (Oz) traverse la surface chargée en z =0 . Ez subit une discontinuité en z=0 :

E_{z}(0^{+})-E_{z}(0^{-})=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}
En ordonnée, je pose de façon totalement arbitraire qu'une division correspond à \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}

champ creer par une couronne circulaire en un point de l\'ax

champ creer par une couronne circulaire en un point de l\'ax

champ creer par une couronne circulaire en un point de l\'ax

Posté par
Nico15110re : champ creer par une couronne circulaire en un point de l'ax 14-12-17 à 07:10

bonjour ,
merci de votre réponse vanoise .
j'ai repris l'exercice avec une integration suivant les et j'arrive a l'expression du champs ci dessous pour la couronne .

E(M)_{z}=\frac{\sigma }{2\epsilon o}z(\frac{1}{racine(a^2+z^2)}+\frac{1}{racine(R^2+z^2)})

ensuite en faisant tendre a\rightarrow 0 \Rightarrow E(M)_{z}=\frac{\sigma }{2\epsilon _{0}}(1-\frac{z}{racine(R^2+z^2)})

on obtient donc la courbe suivante E(M)z pour R = 1 m par exemple

champ creer par une couronne circulaire en un point de l\'ax

Posté par
Nico15110re : champ creer par une couronne circulaire en un point de l'ax 14-12-17 à 07:11

courbe E(m)z

champ creer par une couronne circulaire en un point de l\'ax

Posté par
vanoisere : champ creer par une couronne circulaire en un point de l'ax 14-12-17 à 12:01

Bonjour
Je crois que tu as commis plusieurs erreurs. Je reprends la démonstration.
1° : Tout plan contenant l'axe (Oz) est plan de symétrie de la couronne. Pour appartenir à la fois à tous ces plans, le vecteur champ électrostatique en M doit être colinéaire à (Oz) :

\overrightarrow{E}=E_{z}.\overrightarrow{u_{z}}

2° : composante dEz du vecteur champ élémentaire créé en M par la couronne élémentaire de rayon intérieur r et de rayon extérieur (r+dr). La charge élémentaire de cette couronne est :

dQ=\sigma.dS=2\pi.\sigma.r.dr

Cette charge est répartie à la distance constante \sqrt{z^{2}+r^{2}} de M. De plus, seule la projection du vecteur champ sur (Oz) contribue au champ total, d'où la multiplication par :

\cos\left(\theta\right)=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+r^{2}}}  ; au final :

dE_{z}=\frac{\sigma.dS}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\cdot\cos\left(\theta\right)=\frac{\sigma.z}{2\varepsilon_{0}}\cdot\frac{r.dr}{\left(z^{2}+r^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}

3° : Composante Ez du vecteur champ créé par la couronne en M :

E_{z}=\frac{\sigma.z}{2\varepsilon_{0}}\cdot\intop_{a}^{R}\frac{r.dr}{\left(z^{2}+r^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{\sigma.z}{2\varepsilon_{0}}\cdot\left[-\frac{1}{\sqrt{z^{2}+r^{2}}}\right]_{a}^{R}=\frac{\sigma.z}{2\varepsilon_{0}}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\right)

4° : Cas particulier du disque (a=0) :

E_{z}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\cdot\left(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\right)

5° : cas particulier du plan uniformément chargé :

E_{z}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\cdot\frac{z}{|z|}

Je te laisse réfléchir à tout cela et déterminer le potentiel...
Tu ne précises pas à quelle situation correspond à courbe que tu as tracée. En imaginant qu'il s'agisse du cas du disque, le résultat est totalement irréaliste pour deux raisons :
* la source étant d'extension finie, Ez doit tendre vers zéro quand M s'éloigne infiniment loin du disque ;
* la traversée en z=0 d'une surface chargée entraîne toujours une discontinuité de la composante du vecteur champ perpendiculaire à la surface, donc ici de Ez comme je l'ai signalé dans mon message précédent. Relis-le attentivement...

Posté par
Nico15110re : champ creer par une couronne circulaire en un point de l'ax 14-12-17 à 13:41

bonjour , j'avais bien trouver la bonne expression de E je m'étai tromper en recopiant la formule :

donc en effet ma  première représentation était fausse ...

a) pour a qui tend vers zéro on a :
E(m)_{z}=\frac{\sigma }{2\epsilon _{0}}\left[ \frac{z}{\mid z\mid }-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right]\
On  a D(E(m)_{z})=R^{*}
voir figure A pour la representation .
b) pour a\neq0 et R\rightarrow  
E(m)_{z}=\frac{\sigma }{2\epsilon _{0}}\left[ \frac{z}{\sqrt{a^2+z^2}}\right]\
On  a D(E(m)_{z})=R
voi figure B pour la representation
c) pour a 0 et R

E(m)_{z}=\frac{\sigma }{2\epsilon _{\0 }} \frac{z}{\mid z\mid }

On  a D(E(m)_{z})=R^{*}
voir figure c pour representation

concernant le potentiel avec E(m)_{z}=\frac{\sigma }{2\epsilon _{\0 }} \frac{z}{\mid z\mid }
on a
E(M)_{z}=-grad (V) \Rightarrow - E(M)_{z}=\frac{\partial V}{\partial z}
mais E(m)=E(-m)\Rightarrow \int_{R}^{}{}E(m)=0=V

mais c'est pour le potentiel que j' ai un gros doute maintenant ...

Posté par
Nico15110re : champ creer par une couronne circulaire en un point de l'ax 14-12-17 à 13:44

figures

champ creer par une couronne circulaire en un point de l\'ax

Posté par
vanoisere : champ creer par une couronne circulaire en un point de l'ax 14-12-17 à 14:36

\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{grad}\left(V\right)
En projetant sur les trois axes :

E_{x}=0=-\frac{\partial V}{\partial x}\quad\text{donc V ne dépend pas de x}

E_{y}=0=-\frac{\partial V}{\partial y}\quad\text{donc V ne dépend pas de y}

Ainsi, en tout point M(x,y,z) de l'espace, V ne dépend que de z.

Cas z>0 :

E_{z}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}=-\frac{\partial V}{\partial z}\quad;\quad V=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\cdot z+K1

Cas z<0 :
\\ E_{z}=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}=-\frac{\partial V}{\partial z}\quad;\quad V=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\cdot z+K2

Contrairement à Ez, le potentiel est toujours fonction continue des coordonnées d'espace. La continuité du potentiel en z = 0 conduit à K1=K2=Vo : potentiel de la plaque chargée. Pour résumer :

\boxed{E_{z}=V_{0}-\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\cdot z\quad si\quad z\geq0\quad;\quad E_{z}=V_{0}+\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\cdot z\quad si\quad z<0}

Voici ci-dessous la courbe V=f(z) tracée en posant arbitrairement Vo=0. Ne définir V qu'à une constante arbitraire près n'est pas gênant physiquement : seules les différences de potentiels ont un sens physique. Concernant les courbes Ez=f(z), tu n'as pas complètement tenu compte de mes messages précédents. Pourquoi t'obstiner à produire des courbes fausses alors que je t'ai fourni les courbes correctes dans un message précédent ? Dans mon message du 13-12-17 à 16:06, j'ai oublié le titre de la troisième courbe. Elle correspond au cas de la plaque uniformément chargée bien sûr.

champ creer par une couronne circulaire en un point de l\'ax

Posté par
Nico15110re : champ creer par une couronne circulaire en un point de l'ax 16-12-17 à 10:10

bonjour , merci de votre réponse grâce à vous j'ai bien compris cette exercice et pour les courbes c'est que j'avais essayé de les tracer à la calculette mais je n'avais pas mis un nombre de charge importantes ... C'est pour cela qu'elles ne correspondaient pas aux vôtres ...  Merci encore Vanoise


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