Bonjour
Comme le théorème de Gauss en électrostatique, le théorème d'Ampere suppose une distribution de courants présentant suffisamment de symétrie et d'invariances  pour que la circulation de  B présente de l'intérêt.

La suppression de la loi de Biot et Savart  lors de la dernière réforme des programmes de cpge manque totalement de logique.  Les expressions de B sont fournies par les énoncés  lorsqu'il n'est pas possible d'utiliser le théorème d'Ampere.

D'accord , je vous remercie

Bonsoir à tous.
Ma question s'adresse plus particulièrement à Vanoise, pour ce problème que j'ai cherché longtemps après me l'être posé, sans trouver de solution :
Est-il possible de calculer l'intensité du vecteur induction magnétique en un point quelconque situé à l'intérieur d'une spire circulaire parcourue par un courant i, et dans son plan, à partir de la loi de Biot et Savart, par intégration.
Le calcul au centre de la spire est d'un évidence triviale, mais en s'éloignant du centre, comment calculer cette intensité en fonction de la distance au centre, inférieure à r, rayon de la spire circulaire ?
Merci d'avance, Vanoise, pour vos lumières que je sais être grandes.

Bien cordialement

Vertigo

Bonsoir
J'utilise les coordonnées cylindriques classiques. Je passe sur les problèmes liés au fait que le fil conducteur parcouru par le courant possède un diamètre non nul. La modélisation linéique du courant pose problème pour les points au voisinage du conducteur. On sait résoudre cela dans le cas d'un conducteur cylindrique infiniment long grâce au théorème d'Ampère mais pas pour une distribution volumique de courant torique comme ici.

Par raisons de symétrie, pour z= 0 (dans le plan de la spire) : B_r=0 ; B =0 et Bz=f(r) avec f : fonction paire de r. Un développement limité conduit à :



En remarquant que le rotationnel du vecteur est le vecteur nul au voisinage du centre de la spire, on peut montrer :



D'où l'expression approchée de B_z à l'intérieur de la spire, dans le plan de celle-ci, pour r nettement inférieur à R, rayon de la spire. représente l'expression de B_z en fonction de z pour des points de l'axe de symétrie de cote z. Cette expression est connue, d'où le résultat :



Loin de la spire (r>>R) : on peut calculer le vecteur champ comme celui créé par un dipôle magnétique de moment :

sous réserve d'une orientation convenable du courant.

Je n'ai donc pas totalement répondu à la question : tout cela ne permet pas d'obtenir le vecteur champ pour r voisin de R mais je ne crois pas qu'il soit possible d'obtenir une expression littérale dans ce cas...

Erreur de copier-coller dans la formule donnant  B_z(r) que je corrige :

Bonjour Vanoise,
Merci beaucoup pour ce complément d'information de haut niveau qui m'apporte beaucoup. (J'étais en effet dans la modélisation linéïque (et donc purement théorique) d'une bouche de courant circulaire)

Très cordialement.

Vertigo