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Champ créé par un segment

Posté par
fredisedegnon
02-06-21 à 20:47

Bonsoir à tous.
S'il vous plaît, aider moi dans la résolution de cet exercice.

Exercice

Déterminer le champ électrostatique créé en un point quelconque par un segment de longueur 2c portant une densité linéique de charge constante.

Ma proposition de réponse:

dvecE=(dHP×vecPM)÷(4oPM³)

Soit y la distance de M au segment. On a:

-Étude de symétries :
Je n'arrive pas à trouver des plans de symétries car le champ peut être créé en importe quel point de l'espace qui rendra difficile l'obtention de plans de symétries.

-Etude d'invariance :

Uniformité de la distribution de charge par  translation suivant l'axe OZ, OX. Donc le champ E n'est pas en fonction de x et z

Non uniformité de la distribution de charge par translation suivant l'axe OY. Donc le champ E est uniquement en fonction de y.

dvecE=(dHP×vecPM)÷(4oPM³)

Avec PM³=x³÷cos³

tan=HP÷x

dHP=x(1+tan²)d car x est une constante.

Puisque je n'ai pu connaître la direction du champ je ne sais plus quoi faire.

À part cela je ne peux que donner l'expression de la norme du vecteur champ élémentaire.

La voici:
dE=(dHP)÷(4oPM²)

Avec PM²=x²÷cos²
dHP=x(1+tan²)d

Alors dE=(d÷(4ox).

Je ne sais vraiment plus comment avancer dans la résolution de tel problème.

Je vous prie de m'aider.

Posté par
vanoise
re : Champ créé par un segment 02-06-21 à 20:57

Bonjour

Citation :
Déterminer le champ électrostatique créé en un point quelconque par un segment de longueur 2c portant une densité linéique  de charge constante.

J'ai en partie répondu dans l'autre sujet. Si le point M est quelconque et si le fil est de longueur finie, il n'y a aucune méthode simple de détermination du vecteur champ en un point M quelconque de l'espace. On peut imaginer des simulations informatiques...

Posté par
fredisedegnon
re : Champ créé par un segment 03-06-21 à 20:16

Eh bien, je suis tout à fait d'accord avec vous. Cependant vu que c'est un exercice, n'y a t-il pas une méthode (classique par exemple) qui permettrait de résoudre le problème ?

Posté par
vanoise
re : Champ créé par un segment 03-06-21 à 22:38

Citation :
vu que c'est un exercice

Je suis curieux de savoir dans quel contexte et à quel niveau un tel exercice a bien pu être donné. Je parle bien de la détermination du vecteur champ en un point quelconque de l'espace créé par un fil chargé de longueur finie.
J'ai déjà répondu à la question...

Posté par
fredisedegnon
re : Champ créé par un segment 03-06-21 à 22:47

Je ne comprend pas ce que vous éssayer de me dire. Je vous ai présenté l'exercice comme je l'ai vu. J'aimerais savoir ce que vous voulez dire en parlant du contexte et du niveau.

Posté par
vanoise
re : Champ créé par un segment 03-06-21 à 22:52

IL N'EST PAS POSSIBLE DE TROUVER UNE EXPRESSION LITTÉRALE DU VECTEUR CHAMP ÉLECTRIQUE EN UN POINT QUELCONQUE DE L'ESPACE POUR UN FIL DE LONGUEUR FINIE.

Posté par
fredisedegnon
re : Champ créé par un segment 03-06-21 à 23:15

Là je comprend. Il n'est donc pas possible de résoudre l'exercice en question dans l'optique de trouver une expression littérale au champ E. On peut le faire peut à l'aide d'un logiciel sinon il plus d'autres moyen à la "main".

Posté par
fredisedegnon
re : Champ créé par un segment 03-06-21 à 23:18

Là je comprend. Il n'est donc pas possible de résoudre l'exercice en question dans l'optique de trouver une expression littérale au champ E. On peut le faire peut à l'aide d'un logiciel (E aura une valeure approximative) sinon il n'y a plus d'autres moyens pour le faire  à la "main" en L1(Licence 1) .

Posté par
vanoise
re : Champ créé par un segment 04-06-21 à 12:15

Si tu y tiens vraiment, il est possible d'obtenir l'expression du vecteur champ en un point M quelconque de l'espace pour un fil de longueur finie L=2c mais cela présente peut d'intérêt physique et est assez calculatoire... Je reprends le raisonnement commencé dans l'autre sujet en utilisant les coordonnées polaires (message du 03-06-21 à 22:49 en particulier. Je prends comme plan de figure celui contenant M et le fil puisque le vecteur champ appartient à ce plan. On repère la position du point P par l'angle . Raisonnement déjà fait (message du 27-05-21 à 14:54) :

\overline{OP}=r.\tan\left(\alpha\right)\quad;\quad d(OP)=\dfrac{r}{\cos^{2}\left(\alpha\right)}d\alpha
 \\ 
 \\ dE=\dfrac{\lambda.d(OP)}{4\pi.\varepsilon_{o}.PM^{2}}=\dfrac{\lambda.r.d\alpha}{4\pi.\varepsilon_{o}.\cos^{2}\left(\alpha\right)\cdot\dfrac{r^{2}}{\cos^{2}\left(\alpha\right)}}=\frac{\lambda.d\alpha}{4\pi.\varepsilon_{o}.r}
 \\ 
 \\ dE_{r}=dE.\cos\left(\alpha\right)=\frac{\lambda}{4\pi.\varepsilon_{o}.r}\cdot\cos\left(\alpha\right).d\alpha
 \\ 
 \\ dE_{z}=-dE.\sin\alpha=\frac{-\lambda}{4\pi.\varepsilon_{o}.r}\cdot\sin\left(\alpha\right).d\alpha

Reste maintenant à intégrer entre A et B. Cela n'est pas très compliqué. En revanche, exprimer les sinus et cosinus des angles et en fonction de r,c et z (la cote du point M en choisissant cette cote nulle quand M appartient au plan médiateur du fil : \overrightarrow{OK}=z.\overrightarrow{u_{z}} )alourdit considérablement les expressions...

Champ créé par un segment

Posté par
vanoise
re : Champ créé par un segment 04-06-21 à 14:27

Pour illustrer mon message précédent, voici une simulation informatique qui trace un certain nombre de vecteur champ dans le plan de la figure du message précédent. La tige chargée est représentée par le trait bleu épais.

Champ créé par un segment

Posté par
fredisedegnon
re : Champ créé par un segment 05-06-21 à 16:19

En tenant compte de la figure faite, je parlerai de dKP et non de dOP que vous avez utilisé.

Je n'ai pas bien compris la dernière paragraphe de l'écris:

Si on intègre entre A etB, le champ serait en fonction de ces angles:
Er=(÷4or)(sin[-smb]alpha[/smb]A+sinB)
Ez=(-÷4or)(cosA-cosB)

Et après ça vous avez parler de l'expression de sin et cos des angles en fonction de
r, c et z: les expressions que j'ai trouvés sont sinA=(KA÷AM), CosA=(r÷AM), sinB=(KB÷BM), vosB=(r÷BM) avec AM=(r²+KA²)½ , BM=(r²+KB²)½. Pour faire entrer maintenant z dans l'expression il faut que je fasse l'apparition d'autre variable et là j'aurai pour(,) élément de R², on a KB=z et KA=z car ils sont suivant l'axe OZ.

Et ce faisant nous pouvons dire qu'on est dans le cas général.

Et pour un cas particulier comme vous l'aviez précisez: Quand M sera dans le plan médiateur du fil, il n'aura plus de composante suivant l'axe OZ; et donc Ez=0 puis -B=A (Posons =[ smb]alpha[/smb]B)=>Er=(sin)÷(2or).

Posté par
vanoise
re : Champ créé par un segment 05-06-21 à 22:37

De ma part effectivement : copier-coller intempestif d'un message à l'autre . Il faut maintenant poser :

\overline{KP}=r.\tan\left(\alpha\right)

En revanche, pour la suite, puisque les points O et K sont fixe dans le raisonnement : d(OP)=d(KP)

En intégrant les expressions de Er et Ez, il ne faut pas oublier que A est un angle négatif ici. On obtient :

E_{r}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_{o}.r}\left[\sin\left(\alpha_{B}\right)-\sin\left(\alpha_{A}\right)\right]=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_{o}.r}\left(\frac{c-z}{\sqrt{\left(c-z\right)^{2}+r^{2}}}+\frac{c+z}{\sqrt{\left(c+z\right)^{2}+r^{2}}}\right)

 \\ E_{z}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_{o}.r}\left[\cos\left(\alpha_{B}\right)-\cos\left(\alpha_{A}\right)\right]=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_{o}.r}\left(\frac{r}{\sqrt{\left(c-z\right)^{2}+r^{2}}}-\frac{r}{\sqrt{\left(c+z\right)^{2}+r^{2}}}\right)

Simplification par ”r” bien sûr dans l'expression de Ez. On vérifie heureusement que la dernière expression conduit bien à Ez=0 si z=0.

Posté par
fredisedegnon
re : Champ créé par un segment 06-06-21 à 00:12

Le fait que dOP=dKP me laisse indifférent.
En éffet le répérage de O et de K dans le repère utilisé ou d'ailleurs un coup d'œil sur la figure montre que K≠O. Donc OP≠KP et par conséquent dOP≠dKP.

On a OP=c-z donc KP≠c-z.

Selon moi on ne peut que dire que KP=z avec, un réel.

Posté par
vanoise
re : Champ créé par un segment 06-06-21 à 11:05

Citation :
Donc OP≠KP et par conséquent dOP≠dKP.

Pas du tout ! Il ne faut pas confondre longueur et variation de longueur.
Imagine pour commencer que le point P se déplace de 1mm dans le sens des z positifs. Bien que OP≠KP, les longueurs OP et KP augmentent toutes deux de la même valeur :  1mm ! Les variations de longueurs de OP et de KP sont identiques !
Il le faut pas perdre de vue qu'une différentielle est une variation infinitésimale. Le calcul différentiel permet bien sûr de démontrer l'égalité que tu n'as pas comprise.
d(OP) et d(KP) représentent les variations infinitésimales des longueurs OP et KP quand le point P subit un déplacement infinitésimal le long de l'axe (Oz). Raisonnons en mesures algébriques pour plus de généralité dans la démonstration :

\overline{OP}=\overline{OK}+\overline{KP}

d\left(\overline{OP}\right)=d\left(\overline{OK}\right)+d\left(\overline{KP}\right)

\overline{OK} reste fixe quand le point P subit un déplacement infinitésimal : d\left(\overline{OK}\right)=0 ; donc :

d\left(\overline{OP}\right)=d\left(\overline{KP}\right)

Posté par
fredisedegnon
re : Champ créé par un segment 06-06-21 à 16:41

Là c'est dOP=dKP mais OP≠KP
Dans l'expression de Er et Ez, vous avez considéré que KP=c-z or c'est OP= c-z. Donc selon moi, attribué l'expression c-z à KP me semble bizarre puisque OP≠KP.

Posté par
vanoise
re : Champ créé par un segment 06-06-21 à 23:17

Tu t'ai peut-être laissé piéger par le fait que, sur la figure, la cote z du point M est négative : z=\overline{OK}<0. Pour ne pas se tromper de signes et obtenir un résultat valide quel que soit le signe de z, il convient de raisonner sur les mesures algébriques.

\sin\left(\alpha_{B}\right)=\frac{\overline{KB}}{MB}=\frac{\overline{OB}-\overline{OK}}{MB}=\frac{c-z}{\sqrt{\left(c-z\right)^{2}+r^{2}}}

\sin\left(\alpha_{A}\right)=\frac{\overline{KA}}{MA}=\frac{\overline{OA}-\overline{OK}}{MA}=\frac{-\left(c+z\right)}{\sqrt{\left(c+z\right)^{2}+r^{2}}}

Une fois les expressions du vecteur champ obtenues, il convient de vérifier la cohérence des résultats avec ceux obtenues pour le fil de longueur infinie. On doit vérifier :

\lim_{c\rightarrow\infty}E_{r}=\frac{\lambda}{2\pi.\varepsilon_{o}.r}\quad;\quad\lim_{c\rightarrow\infty}E_{z}=0

Posté par
fredisedegnon
re : Champ créé par un segment 09-06-21 à 21:01

En tant normal ne serait-ce pas à KP qu'on devrait attribuer  la variable z?
Selon moi, nous ne devons pas fixer le point O puisque la réalisation de la figure ne dépend pas de lui par contre les autres point placés participent à la réalisation de la figure(d'ailleurs ils sont nécessaires).

Bref En ce qui concerne la figure c'est KP=z.

Posté par
vanoise
re : Champ créé par un segment 10-06-21 à 10:59

Le but de cette dernière étude consiste à étudier le champ créé par la source par un point M quelconque. Il faut donc repérer ce point M dans un repère lié à la source du champ, pas dans un repère qui change en fonction de la position du point M.
Compte tenu des symétries et des invariances de la source, un système de coordonnées cylindriques est le mieux adapté. L'origine du repère doit être un point fixe de la source ; j'ai choisi le milieu du segment AB pour plus de symétrie dans les calculs.

Posté par
fredisedegnon
re : Champ créé par un segment 10-06-21 à 21:40

Donc il faut choisir un repère fixe: l'important serait de définir le repère en précisant la position de l'origine de celui-ci par rapport au fil qui est fixe ou par rapport à un point fixe se trouvant sur le fil afin de situer chacun des points définir sur le fil dans le repère pour mieux travailler l'expression des sin... Cependant le mieux est de définir le repère afin d'avoir de faciliter dans le travail, et c'est ce que vous avez proposée : Le centre du fil comme Origine du repère et l'axe Uz parallèle au fil, Ur perpendiculaire à Uz...

Posté par
vanoise
re : Champ créé par un segment 11-06-21 à 09:49

D'accord avec toi maintenant !

Posté par
fredisedegnon
re : Champ créé par un segment 16-06-21 à 18:33

Enfin j'ai compris. Je vous remercie beaucoup pour votre aide.



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