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centre de gravité et moment d'inertie

Posté par
grenadine75 20-02-16 à 15:19

Bonjour,

Pour une colle de physique sur la mécanique du solide on nous donne le sujet suivant:
Le référentiel R0 est considéré comme galiléen; il est rapporté au repère(0,x,y,z).
On considère un objet de masse volumique constante ρ ayant la forme d'une portion de sphère pleine de rayon
R, dont le demi angle d'ouverture vaut π/3 (voir schéma ci-dessous).
1.Déterminer la masse M de cet objet en fonction de et R.
2. Déterminez la position du centre de masse G de cet objet en fonction de R.
3. Calculez le moment d'inertie de l'objet J(Oz) autour de son axe de révolution Δ(Oz)en fonction de ρ et R, puis en fonction de M et R .

Indication : l'intégrale 3sin 3d peut être calculée soit par parties, soit en remarquant que
sin3 =sinsin²= sin(1-cos²) .

J'ai répondu à toutes les questions sans pour autant être sur des résultats et j'aimerais connaître la méthode pour déterminer V et S en intégrant car je n'arrive pas à voir d'où vient le sin3.

1.M=V=(Vcône+Vcalotte)
     M=\rho \pi \frac{R^{3}}{3}

2.On a deux plans de symétrie (xOz) et (yOz) donc j'ai est selon l'axe Oz.On applique le théorème de Guldin:
    ZG=\frac{V}{2\pi S} (S=\sqrt{3}\pi R²)
    ZG=\frac{R}{6\sqrt{3}\pi }

3.J(Oz)=(x²+y²)d3m=\frac{3}{8}\rho R^{5}=\frac{9MR²}{8\pi }


Merci d'avance à celui ou celle qui pourras me répondre

centre de gravité et moment d\'inertie

Posté par
vanoisere : centre de gravité et moment d'inertie 20-02-16 à 15:56

Bonjour
As-tu essayé le "découpage" du solide en tranches parallèles au plan (Oxy) de cotes z et d'épaisseurs dz ? En plus, cela te facilite ensuite le calcul du moment d'inertie car tu connais l'expression de celui d'un disque homogène par rapport à son axe de symétrie.
tu poses : z = R.cos() soit dz= -R.sin()d avec compris entre 0 et .

Posté par
grenadine75re : centre de gravité et moment d'inertie 20-02-16 à 16:07

Bonjour,

Non je n'y avait du tout pensé, je vais refaire mes calculs avec cette formule car je pense que mon moment d'inertie est faux du coup, merci

Posté par
J-Pre : centre de gravité et moment d'inertie 20-02-16 à 16:57

Une façon parmi d'autres :

Volume de révolution (pour la calotte sphérique):

On fait tourner le cercle d'équation y² + z² = R² autour de l'axe de z

L'axe Oz perce le plan de base de la calotte pour z = R.cos(alpha) = R/2

V1 = Pi * S(de R/2 à R) y².dz = Pi * S(de R/2 à R) (R² - z²).dz = Pi * [R²x - z³/3](de R/2 à R) = Pi*(R³ - R³/3 - R²R/2 + R³/24) = (5/24).Pi.R³

Volume du cône : (supposé non connu)

On fait tourner la droite z = y * tan(90°-alpha), soit z = (1/V3).y autour de l'axe Oz avec z compris entre 0 et R/2

V2 = Pi * S(de0àR/2) y² dz = Pi * S(de0àR/2) 3.z² dz  = Pi * [3 * z³/3](de0àR/2) = (1/8).Pi * R³
---
V = V1 + V2 = (5/24).Pi.R³ + (1/8).Pi.R³

V = (1/3).Pi.R³

Sauf distraction.  

Posté par
grenadine75re : centre de gravité et moment d'inertie 20-02-16 à 17:20

Je pense également que c'est ce qu'on devrait trouver (j'ai trouvé ce résultat en utilisant les formules usuelles du volume d'un cône et d'une calotte sphérique) mais lorsque j'intègre \int sin^{3}\theta d\theta au lieu d'un tiers j'obtiens \left[-cos\theta +\frac{1}{3}cos^{3 } \theta \right]^{\frac{\pi }{3}}_{0}=\frac{5}{24} et j'ai toujours le facteur moins du dz.

Posté par
vanoisere : centre de gravité et moment d'inertie 20-02-16 à 18:36

Et pour le moment d'inertie ?
Compte tenu de l'indication fournie par ton professeur, la méthode attendue pour le volume de la calotte  est sans doute celle-ci :
La tranche de cote z et d'épaisseur dz a pour rayon : r=R\cdot\sin\left(\theta\right)
  et pour épaisseur dz=-R\cdot\sin\left(\theta\right)
.
son volume est : dV=\pi r^{2}dz=-\pi R^{3}\cdot\sin^{3}\left(\theta\right)\cdot d\theta
D'où le volume de la calotte  :

V=-\pi R^{3}\cdot\intop_{\frac{\pi}{3}}^{0}\sin^{3}\left(\theta\right)\cdot d\theta=\frac{5}{24}\pi R^{3}

Attention aux bornes d'intégration ! mon expression de dV suppose dz>0 donc une intégration de = à =0 !

Posté par
vanoisere : centre de gravité et moment d'inertie 20-02-16 à 18:50

Citation :
Non je n'y avait du tout pensé, je vais refaire mes calculs avec cette formule car je pense que mon moment d'inertie est faux du coup,

Je pense que oui !

Posté par
grenadine75re : centre de gravité et moment d'inertie 20-02-16 à 18:58

Donc si je comprends bien la formule permet de calculer le volume de la calotte mais pas celui du cône??
Pour le moment d'inertie je crois avoir fait une erreur dans les bornes d' intégration de dx et dy:
Dois-je intégrer dx et dy de 0 à \frac{\sqrt{3}}{2}R ou de -\frac{\sqrt{3}}{2}R à\frac{\sqrt{3}}{2}R?

Posté par
vanoisere : centre de gravité et moment d'inertie 20-02-16 à 19:26

Citation :
Donc si je comprends bien la formule permet de calculer le volume de la calotte mais pas celui du cône

Je ne pense pas qu'il existe une  formule unique  pour déterminer le volume du solide ou son centre de gravité ou son moment d'inertie : il faut passer par la décomposition du solide en deux comme cela a déjà été fait pour le volume et la masse. Cela dit, la méthode que je t'ai proposée s'applique très simplement au cône : il suffit de considérer dans le calcul comme une constante égale à .
Selon moi, l'expression du moment d'inertie en fonction de R et fait intervenir . Tu peux expliquer ta méthode ?
Je connais deux théorèmes de Guldin : un qui permet de déterminer le centre d'inertie d'une distribution filiforme de matière, l'autre qui permet de déterminer le centre d'inertie d'une distribution surfacique de matière mais je ne connais pas celui permettant d'obtenir le centre d'inertie d'une distribution volumique de matière...

Posté par
grenadine75re : centre de gravité et moment d'inertie 20-02-16 à 21:23

En fait je pense avoir fait une erreur en intégrant dz 0 à R comme si il ne varie pas du coup j'ai sorti R .
Je pensais que le deuxième théorème de Guldin fonctionnait si on avait la surface et le volume d'un objet mais c'est vrai que je ne comprenais pas bien les résultats  du cours entre autre pourquoi quand on intègre un quart de disque on a le volume d'un demi-cercle... du coup je ne sais pas trop comment trouvé le centre d'inertie :/

Posté par
grenadine75re : centre de gravité et moment d'inertie 20-02-16 à 21:24

Du coup vous pouvez me dire si mes bornes d'intégration pour dx et dy sont justes?

Posté par
vanoisere : centre de gravité et moment d'inertie 20-02-16 à 23:08

Ce que tu as déterminé par le théorème de Guldin, sauf erreur de calcul de ta part, c'est la position du centre d'inertie d'une plaque plane constituée d'une partie triangulaire isocèle et d'un demi disque.
Voici une méthode possible pour le moment d'inertie, sachant que celui d'un disque homogène d'axe (Oz) de masse m et de rayon r  vaut : IOz=½ mr2
Moment d'inertie du cône par rapport à l'axe (Oz) :
Pour une tranche de cote z et d'épaisseur dz : r=z\tan\left(\alpha\right)
la masse est :

dm=\rho\cdot dV=\rho\cdot\pi\cdot r^{2}dz
le moment d'inertie élémentaire vaut :

dI'=\frac{1}{2}dm\cdot r^{2}=\frac{1}{2}\rho\pi r^{4}dz=\frac{1}{2}\rho\pi\tan^{4}\left(\alpha\right)\cdot z^{4}dz
On obtient le moment d'inertie du cône en intégrant par rapport à z  entre z = 0 et z=R\cdot\cos\left(\alpha\right)

I'=\frac{1}{10}\rho\pi\tan^{4}\left(\alpha\right)\cdot R^{5}\cdot\cos^{5}\left(\alpha\right)=\frac{1}{10}\rho\pi R^{5}\cdot\sin^{4}\left(\alpha\right)\cdot\cos\left(\alpha\right)

I'=\frac{9}{320}\cdot\rho\pi R^{5}

Moment d'inertie de la calotte par rapport à (Oz) :

La tranche de cote z et d'épaisseur dz a pour rayon : r=R\cdot\sin\left(\theta\right)
  et pour épaisseur dz=-R\cdot\sin\left(\theta\right) .
son volume est : dV=\pi r^{2}dz=-\pi R^{3}\cdot\sin^{3}\left(\theta\right)\cdot d\theta
Moment d'inertie élémentaire de la tranche :

dI_{Oz}=\frac{1}{2}\rho dV\cdot r^{2}=-\frac{1}{2}\rho\pi R^{5}\cdot\sin^{5}\left(\theta\right)\cdot d\theta
D'où le moment d'inertie obtenu par intégration :

I_{Oz}=-\frac{1}{2}\rho\pi R^{5}\cdot\intop_{\frac{\pi}{3}}^{0}\sin^{5}\left(\theta\right)\cdot d\theta=\frac{53}{960}\cdot\rho\pi R^{5}
Le moment d'inertie du solide {calotte + cône) par rapport à (Oz) est donc :

\boxed{I=\rho\pi R^{5}\cdot\left(\frac{9}{320}+\frac{53}{960}\right)=\frac{1}{12}\cdot\rho\pi R^{5}}

Pour la cote du point G il faut revenir à la formule de définition où tu peux diviser numérateur et dénominateur par puisque le solide est homogène :

\boxed{z_{G}=\frac{\int_{0}^{R\cos\left(\alpha\right)}z\cdot dV+\int_{R\cos\left(\alpha\right)}^{R}z\cdot dV}{V}=\frac{\int_{0}^{R\cos\left(\alpha\right)}z\cdot dV+\int_{R\cos\left(\alpha\right)}^{R}z\cdot dV}{\frac{\pi R^{3}}{3}}}

Le calcul intégral, comme dans les deux autres déterminations, se divise en deux : une intégrale pour la partie conique, une autre pour la calotte.
la méthode que je t'ai proposée est physiquement très simple. La difficulté vient des calculs d'intégrales... Je pense qu'un jour d'examen, celles-ci seront fournies...

Posté par
vanoisere : centre de gravité et moment d'inertie 21-02-16 à 23:12

Bonsoir,
Je propose une solution au calcul de zG avant de passer à autre chose. J'espère que Grenadine75 aura le temps de le refaire. Il s'agit donc de calculer l'intégrale de z.dV sur l'ensemble du solide. Comme, pour les calculs précédents, on procède en deux étapes.
Calcul pour le cône. On a déjà démontré , pour une tranche d'épaisseur dz : dV=\pi r^{2}dz=\pi z^{2}\tan^{2}\left(\alpha\right)dz  ; donc :

J_{1}=\int_{0}^{R\cos\left(\alpha\right)}\pi z^{3}\tan^{2}\left(\alpha\right)dz=\frac{\pi\tan^{2}\left(\alpha\right)R^{4}\cos^{4}\left(\alpha\right)}{4}=\frac{\pi R^{4}\sin^{2}\left(\alpha\right)\cos^{2}\left(\alpha\right)}{4}=\frac{3\pi R^{4}}{64}

Calcul pour la calotte. On a déjà démontré, pour une tranche d'épaisseur dz : dV=-\pi R^{3}\sin^{3}\left(\theta\right)d\theta  et : z=R\cos\left(\theta\right) ;

J_{2}=\intop_{\alpha}^{0}z\cdot dV=\intop_{\alpha}^{0}-\pi R^{4}\sin^{3}\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)d\theta

Pour une fois, le calcul intégral est immédiat puisque : \cos\left(\theta\right)d\theta=d\left(\sin\left(\theta\right)\right) . On obtient :

J_{2}=\frac{9\pi R^{4}}{64}

La somme des deux intégrales vaut : J=J_{1}+J_{2}=\frac{12\pi R^{4}}{64}=\frac{3\pi R^{4}}{16} . D'où la cote du centre d'inertie du solide{cône+calotte} :

\\ z_{G}=\frac{\frac{3\pi R^{4}}{16}}{\frac{\pi R^{3}}{3}}\quad soit\quad\boxed{z_{G}=\frac{9}{16}\cdot R}

Posté par
J-Pre : centre de gravité et moment d'inertie 22-02-16 à 14:25

Ou ainsi pour zG :

Pour la calotte pleine : S(de R/2 à R) [Pi.Rho.z.(R²-z²) dz] = (9/64).Pi.Rho.R^4

Pour le Cône :  S(de0àR/2) Pi.Rho.y² dz = S(de0àR/2) Pi.Rho.3.z² dz = (3/64).Pi.Rho.R^4

Total = (12/64).Pi.Rho.R^4 = (3/16).Pi.Rho.R^4
---
Masse = Pi.Rho * [S(de R/2 à R) (R²-z²)dz + S(de 0 à R/2) 3.z² dz] = Pi.Rho.R³/3

--> OG = (3/16).Pi.Rho.R^4/(Pi.Rho.R³/3) = 9R/16

zG = 9R/16

Même résultat que vanoise ...

Posté par
vanoisere : centre de gravité et moment d'inertie 22-02-16 à 15:23

Bonjour,

Citation :
Même résultat que vanoise ...

Merci de la confirmation. Et pour le moment d'inertie ?

Posté par
J-Pre : centre de gravité et moment d'inertie 22-02-16 à 16:44

Pour le moment d'inertie autour de Oz.

Pour la partie conique

Elément de masse : cylindre "creux" d'axe oz,  de le rayon y  et d'épaisseur de paroi dy et de hauteur (R/2 - z)
La génératrice dans le plan oyz a pour équation z = y/V3

dm = 2.Pi.Rho.y(R/2 - z) dy
dm = 2.Pi.Rho.V3.z.(R/2 - z) V3.dz

dm = 6.Pi.Rho.z.(R/2 - z) dz

J1 = S(de0 à R/2) 6.Pi.Rho.z.(R/2 - z) * y² dz
J1 = S(de0 à R/2) 18.Pi.Rho.z.(R/2 - z) * z² dz
J1 = 18.Pi.Rho.S(de0 à R/2) (R/2.z³ - z^4) dz
J1 = 18.Pi.Rho.[R/8 . z^4 - z^5/5](de0 à R/2)
J1 = 18.Pi.Rho.[R/8 . R^4/16 - R^5/160]
J1 = (9/320).Pi.Rho.R^5
-----
Pour la partie calotte, on peut procéder de la même manière ...
mais en remplaçant l'équation z = y/V3 par l'équation z = V(R²-y²)
Et en intégrant de (R/2 à R)
...

Posté par
vanoisere : centre de gravité et moment d'inertie 22-02-16 à 17:57

Citation :
Pour la partie calotte, on peut procéder de la même manière ...

J'aimerais voir si possible, histoire d'être sûr de ne pas m'être trompé dans mon calcul de l'autre soir et histoire que grenadine 75 soit en mesure de comparer les deux méthodes...
Merci d'avance.

Posté par
J-Pre : centre de gravité et moment d'inertie 22-02-16 à 20:27

Pour le calotte :

dV = 2Pi.y.dy.(z - R/2)

ave x²+y²=R² -->

dV = 2Pi.V(R²-z²)*z/V(R²-z²) * (z-R/2) dz

dV = 2.Pi.(z²-zR/2) dz

dm = 2.Pi.Rho.(z²-zR/2) dz

J2 = 2.Pi.Rho.S(deR/2 à R) (z²-zR/2) * y² dz

J2 = 2.Pi.Rho.S(deR/2 à R) (z²-zR/2) * (R²-z²) dz

J2 = 2.Pi.Rho.S(deR/2 à R) (R²z² - z^4 - R³z/2 + Rz³/2) dz

J2 = 2.Pi.Rho.[R²z³/3 - z^5/5 - R³z²/4 + Rz^4/8](de R/2 à R)

J2 = Pi.rho.R^5 * 53/960

Conforme à la réponse de vanoise.

Posté par
grenadine75re : centre de gravité et moment d'inertie 22-02-16 à 21:01

Bonsoir merci,

Merci à vous J-P et plus particulièrement vanoise pour m'avoir aider à répondre aux questions j'ai vais bien entendu refaire les raisonnement de mon coté pour comprendre les méthodes de calculs car pour l'instant cela me semble assez long surtout que la colle ne dure qu' une heure. Vanoise ce sujet a été posé lors du concours de deug national de l'an dernier et il n'y avait pas les méthodes sur le sujet... ça me laisse à présager le niveau des épreuves :/

Encore merci et bonne soirée

Posté par
vanoisere : centre de gravité et moment d'inertie 22-02-16 à 22:42

OK : les deux méthodes sont bien cohérentes. Chacun utilise la méthode qui lui est la plus familière. Je pense tout de même que, pour un solide qui, comme ici, admet un axe de symétrie, l'usage des coordonnées cylindriques (ou cylindro-polaires : les expressions sont synonymes) rend les intégrales plus faciles à poser que l'usage des coordonnées cartésiennes. Restent ensuite à résoudre les intégrales : c'est là que, en général, pour ne pas transformer l'épreuve de physique en épreuve de math, un formulaire de primitives est fourni. Cela se fait couramment aux épreuves d'entrée à polytechnique ; pourquoi pas ici ?
Cela d'autant plus que le problème n'est sans doute pas fini : très souvent, ce solide modélise une toupie et il s'agit ensuite de décrire le mouvement de l'axe Oz par rapport au sol lorsque la toupie tourne rapidement sur elle-même autour de cet axe Oz... Et là : il s'agit bien de faire de la physique !


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