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Cartésienne

Posté par
Jean469 25-03-15 à 19:00

Bonjour,au risque de de poser trop de questions sur ce forum,j'ai fais cet exercice pour m'entraîner.
Mais je voulais être sûr de mes réponses.

Les équations horaires d'un mouvement plan sont :
x(t)=2t  y(t)=  \sqrt{4(1-t^2)

1. Quelle est la nature de la trajectoire ?
2. Déterminer le vecteur vitesse et sa valeur.
3. En déduire les composantes normale et tangentielle du vecteur accélération (repère de Frenet).

Et mes réponses sont les suivantes:
1) on a t=x/2=>y=\sqrt{4(1-\frac{x^2}{4})= 2.\sqrt{1-\frac{x^2}{4}},pas sûr qu'on a une parabole...
2) \vec{v} |vx=2 |vy= 2racine(1-t²).
Ensuite en 3)
\vec{\tau}= \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}

Et a_\tau=\vec{a}.\vec{\tau} donc a_\tau=

\frac{-2t.j}{2 \sqrt{1-t^2}}*\frac{.2t.i-2\sqrt{1-t^2}j}{\sqrt{4t^2+4(1-t^2)}}=\frac{4t \sqrt{1-t^2}}{4}= t \sqrt{1-t^2}.

Et \vec{a_\tau}=a_\tau.\vec{\tau}=\frac{2t^2 \sqrt{1-t^2}.i-2t(1-t^2)j}{4}
Sauf erreur de calcul.
Et je calculerai a_n plus tard.

Posté par
krinn Correcteurre : Cartésienne 25-03-15 à 19:34

bonsoir,

1) il faut calculer y2 pour trouver la trajectoire
2) Vy est à revoir

Posté par
Jean469re : Cartésienne 25-03-15 à 19:41

Ok merci.

Posté par
J-Pre : Cartésienne 25-03-15 à 19:51

1)

x = 2t
t = x/2

y = V(4(1 - x²/4))
y = V(4-x²)  (y >= 0 et x dans [-2 ; 2])

y² = 4-x²
x²+y² = 4

Trajectoire : demi cercle (au dessus de l'axe des abscisses) de centre à l'origine du repère et de rayon 2
-----
2)

dx/dt = 2
dy/dt = -2t/V(1-t²)

vecteur vitesse (2 ; -2t/V(1-t²)) pour t dans [-1 ; 1] s
-----
3)

...

Sauf distraction.  

Posté par
Jean469re : Cartésienne 26-03-15 à 11:37

Merci beaucoup J-P.
En refaisant mes calculs je trouve \vec{| v |}=r(4+(4t²/1-t²))=2racine(1+(t²/1-t²)) "r"=racine carré. sauf erreur.

donc  a_\tau=\vec{a}.\vec{\tau}=-2/(1-t²)^(3/2)j. \\ \frac{2i-\frac{2t.j}{\sqrt{1-t^2}}}{2\sqrt{1+\frac{t^2}{1+t^2}}} \\ =
\frac{-4t^2}{{(1-t^2)}^2} *2\sqrt{1+\frac{t^2}{1-t^2}}

=[-8t²*r(1+(t²/1-t²))]/(1-t²)².

Puis en posant A=[-8t²*r(1+(t²/1-t²))] Et B=r(1+(t²/1-t²))

Et \vec{a_\tau}=a_\tau.\vec{\tau}=[2iA-2tj/r(1-t²)j.A]/(1-t²).B

Posté par
Jean469re : Cartésienne 26-03-15 à 13:30

Ah j'ai oublié de vous demandez si c'est bon et pourquoi on prend y² comme équation de trajectoire au lieu de y?
C'est parce qu'il en faut pas de racine dans l'équation?
Un élève en L3 m'a dit q'il ne savait pas pourquoi ^^.

Posté par
krinn Correcteurre : Cartésienne 26-03-15 à 19:53

Citation :
Ah j'ai oublié de vous demandez si c'est bon et pourquoi on prend y² comme équation de trajectoire au lieu de y?


à ton niveau on ne va pas exiger que tu reconnaisses l'equation cartésienne d'une lemniscate de Bernoulli

donc il faut connaître:
(x-xo)2/a2 + (y-yo)2/b2 = R2 ellipse (ou cercle si b=a)

y = ax+b (droite)

y = (ax+b)/(cx+d) hyperbole (si c!=0)

y = ax2+bx+c parabole

plus peut-etre encore quelques unes que j'ai oubliées

donc dans ton exo, ici, en essayant y2 on trouve un cercle

Posté par
Jean469re : Cartésienne 26-03-15 à 20:32

Ah ok!
Je les apprendrai alors!Merci
J'avais entendu parler de Bernoulli mais en maths,en faite,c'était un grand génie!
Après je sais pas si tu as regardé mes derniers calculs mais mon \vec{a} est bon ainsi que mon module de v et mon \vec{\tau} ^^ après je fais souvent des erreur de calcul de a_tau n'est pas forcément bon.

Mais c'est dommage qu'on ne puisse pas envoyer des photos de ce qu'on fais sur ce site parce que le latex c'est pas toujours simple,et ça prend du temps.

Posté par
krinn Correcteurre : Cartésienne 26-03-15 à 21:17


il faut simplifier les expressions au maximum car sinon tu compliques énormément les calculs ultérieurs

ici: (2 ; -2t/(1-t²))
a ( 0 ; -2 (1-t2)-3/2 )


v = 2(1+(t²/1-t²)) = 2/(1-t2)


at = dv/dt = 2t (1-t2)-3/2

on ne te demande pas le vecteur at, uniquement la composante at dans la base de Frénet (,N)

je te laisse vérifier mes calculs!

(vecteurs en gras)

Posté par
Jean469re : Cartésienne 26-03-15 à 21:42

Ok,je vais corriger tes fautes ^^.


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