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Capacité calorifique d'un fluide monophasé

Posté par
fidele11 18-10-22 à 10:07

Bonjour,
J'ai besoin d'un coup de main pour montrer cette relation de la capacité calorifique d'un fluide monophasé :

$C_V =-\frac{\partial U}{\partial V})_T \frac{\partial V}{\partial T})_U$ .

Je sais que $C_V=\frac{\partial U}{\partial T})_V$ et que la différentielle totale de l'énergie interne U permet d'écrire :
$dU=\frac{\partial U}{\partial T})_V dT+ \frac{\partial U}{\partial V})_T dV$ .

J'ai pensé à simplifier $\partial V$ dans le membre de droite $-\frac{\partial U}{\partial V})_T \frac{\partial V}{\partial T})_U$ mais la constante n'est pas la même dans les deux dérivées partielles...

Posté par re : Capacité calorifique d'un fluide monophasé 18-10-22 à 11:56

Bonjour

Tu peux étudier le document suivant, en particulier le paragraphe : « RELATIONS ENTRE LES DÉRIVÉES PARTIELLES ».

Puisque U ne dépend que de T et V (U est une fonction d'état), il existe une fonction f telle que f(U,T,V)=0. En écrivant que la différentielle de f(U,T,V) est nulle puisque f(U,T,V) est une constante (zéro), on obtient :

$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}\cdot\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{U}\cdot\left(\frac{\partial T}{\partial U}\right)_{V}=-1$

soit :

$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}\cdot\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{U}=-\frac{1}{\left(\frac{\partial T}{\partial U}\right)_{V}}=-\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}$
Je te laisse terminer...

Posté par re : Capacité calorifique d'un fluide monophasé 18-10-22 à 12:53

On identifie bien l'expression de Cv. J'ai carrément oublié de penser à cette «permutation circulaire».

Merci bien !

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