Niveau licence

Calculs avec les équations de Maxwell

Posté par
Laurent 16-04-18 à 18:20

Bonjour,

Je rencontre quelques difficultés à faire un exercice avec les équations de Maxwell.
Voici la question :

On suppose deux champs, de la forme :

$\vec{E} = \vec{E_{0}} e^i(\omega t-\vec{k.}\vec{r})$
$\vec{B} = \vec{B_{0}} e^i(\omega t-\vec{k.}\vec{r})$

avec   $\omega , \vec{k}, \vec{E_{0 }}  et  \vec{B_{0}}$ des scalaire ou des vecteurs constants.

Calculer $div\vec{E }, \vec{rot}\vec{E}, div\vec{B}, \vec{rot}\vec{B}$ .

Si nécessaire, on pourra supposer, pour simplifier, que $\vec{k}$
est dirigé suivant Oz.

  Dois-je faire les calculs en coordonnées cylindriques ou sphériques?  (J'ai éliminer les coordonnées cartésiennes, à cause de la présence du vecteur $\vec{r}$ ) ? Je penche d'avantage sur les coordonnées cylindrique car je n'ai pas de 𝛟.

   Ensuite, pour commencer, en prenant les coordonnées cylindrique, pour calculer la divergence du champ, j'ai la formule :

$div \vec{A} = \frac{1}{r}.\frac{\delta (rA_{r})}{(\delta r) } + \frac{1}{r} .\frac{\delta (A_{\theta })}{(\delta \theta )} + \frac{\delta (A_{z})}{(\delta z) }$

Donc, je dois commencer par calculer $div \vec{E}$ ?

θ n'intervient pas donc $\frac{1}{r} .\frac{\delta (A_{\theta })}{(\delta \theta )}$ est nul.
Ensuite, pour   $\frac{\delta (A_{z })}{(\delta z )}$ , vu que l'on considère que $\vec{k}$ est dirigé suivant Oz, ça me donnerais (si je ne me trompe pas...)

$\frac{\delta (A_{z})}{(\delta z) } = \frac{\delta (A_{k})}{(\delta k) } = - \vec{E_{0}}.i.r.e^{i(\omega t -\vec{k}.\vec{r})}$

Est-ce bien ça?

Par avance merci!

Posté par re : Calculs avec les équations de Maxwell 16-04-18 à 18:28

Bonjour
Le plus simple me semble être d'utiliser les coordonnées cartésiennes, d'autant plus que l'énoncé suggère de poser :

$\overrightarrow{k}=k.\overrightarrow{u_{z}}$
Tu dois savoir que les ondes électromagnétiques sont transversales. Les deux divergences sont nulles en tout point et à chaque instant : cela devrait facilement te conduire à démontrer :

$\overrightarrow{E_{0}}\bot\overrightarrow{u_{z}}\quad et\quad\overrightarrow{B_{0}}\bot\overrightarrow{u_{z}}$

Posté par re : Calculs avec les équations de Maxwell 16-04-18 à 19:39

D'accord,
Donc il vaut mieux prendre le repérage cartésien.
J'avais le doute car l'axe Oz apparait aussi en coordonnées cylindriques c'est pour ça.

Donc, pour $\vec{r}$ , j'utilise $\sqrt{x^2.\vec{u_{x}}+y^2.\vec{u_{y}}}$ ?

Ca me donnerais :

$\frac{\delta \vec{E}}{\delta x} = - \vec{E_{0}}.i.k.x. \frac{e^i(\omega t-k.\sqrt{x^2+y^2}}{(\sqrt{x^2+y^2})}$

$\frac{\delta \vec{E}}{\delta y} = - \vec{E_{0}}.i.k.y. \frac{e^i(\omega t-k.\sqrt{x^2+y^2}}{(\sqrt{x^2+y^2})}$

et

$\frac{\delta \vec{E}}{\delta k} = - \vec{E_{0}}.i.k.\sqrt{x^2+y^2}. e^i(\omega t - k.\sqrt{x^2+y^2})$

Il me semble que c'est ça, mais ça fait très lourd quand même, et je ne vois pas ce que ça peut donner... J'ai tenter de factoriser la somme mais sans grand succès...

Posté par re : Calculs avec les équations de Maxwell 16-04-18 à 22:22

Les choses sont plus simples :

$\overrightarrow{r}=x.\overrightarrow{u_{x}}+y.\overrightarrow{u_{y}}+z.\overrightarrow{u_{z}}$

$\overrightarrow{k}.\overrightarrow{r}=k.z$
Ensuite, une fois démontrée, en raisonnant comme déjà dit sur les deux divergences, la transversalité de l'onde, tu peux, sans restreindre la généralité de l'étude de l'onde plane, orienter le repère de sorte que :

$\overrightarrow{E_{0}}=E_{0}.\overrightarrow{u_{x}}$

L'étude du rotationnel du vecteur champ électrique et l'équation de Maxwell correspondante vont te conduire à démontrer : $\overrightarrow{B_{0}}=B_{0}.\overrightarrow{u_{y}}$ et à établir une relation simple entre E_o, B_o et c.

Posté par re : Calculs avec les équations de Maxwell 17-04-18 à 00:12

D'accord.
Merci pour le coup de pouce.
Je pense avoir compris. Je m'y remets demain matin.
La suite de ce que vous mettez correspond aux questions suivantes.
Merci encore. Cordialement.

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de physique

Fiches de physique - chimie

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Calculs avec les équations de Maxwell

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de physique