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Calcul du champ électrique d'un plan + un demi-espace avec Gauss

Posté par
Marc_Benford 14-10-13 à 00:37

Bonjour.

On considère un plan infini (z=0) de densité surfacique $\sigma$ , et un demi-espace (s'étalant de z=0 à z->+infini) de densité volumique $\rho (z) = \frac {\sigma}{a} exp(-\frac{z}{a})$
Il faut utiliser le théorème de Gauss pour calculer le champs électrique total en tout point M d'altitude z $\ge$ 0.

Donc j'ai pris comme surface de Gauss un cylindre d'axe Oz (avec M situé sur Oz). Comme tout plan passant par (OM) est plan de symétrie, E est dirigé selon $\vec{u_z}$ .
$\phi = \int \int \vec{E} \vec{ds}$
$= \int \int E \vec{u_z} \vec{ds}$
$= \int \int_{lat} E \vec{u_z} \vec{ds} + \int \int_{bas} E \vec{u_z} \vec{ds} + \int \int_{haut} E \vec{u_z} \vec{ds}$
Puis là j'arrive pas à le rédiger correctement. Je sais qu'il faut exprimer les trois $\vec{ds}$ en fonction de $\vec{u_z}$ et de $\vec{u_\rho}$ , mais chaque fois que je le fais l'intégrale de la surface du bas et celle de la surface du haut s'annule vu que pour l'intégrale du haut on a $\vec{ds} = ds \vec{u_z}$ alors que pour l'intégrale du bas on a $\vec{ds} = ds (-\vec{u_z})$ (car $\vec{ds}$ doit être orienté selon la normale qui sort de la surface de Gauss)
Mais bon, intuitivement j'imagine que l'intégrale de la surface latérale vaut zéro (car $\vec{u_z}$ et $\vec{u_\rho}$ sont perpendiculaires), et l'intégrale du bas doit être égale à l'intégrale du haut (aucune idée pourquoi par contre)... Donc finalement j'ai continué :
$\phi = 2 \int \int_{bas} E \vec{u_z} \vec{ds}$
$= 2 E \int \int_{bas} \vec{u_z} \vec{ds}$
$= 2 E S$

Je calcule la charge total intérieur au cylindre :
$q_{int} = -S\sigma - \int \int \int \rho ds dz$
Et là, je n'ai pas la moindre idée de comment calculer ça. Je ne sais même pas si c'est juste. J'ai juste sortit ça au hasard, sans comprendre grand chose. Donc si vous pouvez m'expliquer comment on fait pour calculer ça...
J'ai continué comme ça mais c'est surement faux :
$= -S\sigma - \int_0^{+\infty} \rho dz$
$= -S\sigma - S\sigma [exp(-\frac{z}{a})]_0^z$
$= - S \sigma exp(-\frac{z}{a})$

Puis on utilise le théorème de Gauss :
$\phi = \frac {q_{int}}{\epsilon_0}$
$= - \frac{S \sigma}{\epsilon_0} exp(-\frac{z}{a})$

Et finalement je trouve :
$E(z) = -\frac{\sigma}{2\epsilon_0} exp(-\frac{z}{a})$

Sauf que ça m'a l'air louche comme résultat. Je sais pas, j'ai comme l'impression que j'ai fait plein d'erreurs partout... Donc si vous pouvez m'aider un peu... merci d'avance.

Posté par re : Calcul du champ électrique d'un plan + un demi-espace avec 14-10-13 à 12:43

Faites comme on vous a répondu sur futura !

Posté par re : Calcul du champ électrique d'un plan + un demi-espace avec 14-10-13 à 22:26

Malheureusement j'y comprends rien du tout à ce qu'on m'a répondu sur futura... Tout ce que j'ai réussi à calculer c'est le champ généré par le plan infini z=0.

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