Niveau école ingénieur

Calcul d'un tenseur de déformation de Green-Lagrange

Posté par
Jean1418 26-09-23 à 16:00

Bonjour,
Voici mon exercice.
On considère la transformation définie en coordonnées cylindriques par $r=f(R,t)$ , $\theta=\alpha(t) \Theta$ et $z=Z$ .
Les lettres majuscules (resp. minuscules) se rapportent à la configuration initiale (resp. donnée à l'instant $t$ ). La fonction $R \mapsto f(R,t)$ est supposée différentiable et positive et $\alpha(t)$ est un scalaire ( $\alpha(0)=1$ )
1/ Etablir :
$\underline{\underline{F}}(X)=f(R,t) \underline{e_r} \otimes \underline{e_{R}} + \alpha(t) \frac{f(R,t)}{R} \underline{e_{\theta}} \otimes \underline{e_{\Theta}} + \underline{e_{z}} \otimes \underline{e_{z}}$
où $f'(R,t)$ désigne la dérivée selon $R$ .

On suppose $\alpha(t)>0$
2/ Donner le tenseur de déformation de Green-Lagrange
Réponse du correcteur :
Après calcul,
$\underline{\underline{e}}=\frac{1}{2}(f'(R,t)^2 - 1 ) \underline{e_{R}} \otimes \underline{e_{R}} + \frac{1}{2}(\alpha(t)^2 \frac{f(R,t)^2}{R^2}-1)\underline{e_{\Theta}} \otimes \underline{e_{\Theta}}$

Pour la 1/, je n'ai pas de souci, bien que l'énoncé ne précise pas ce qu'est $\underline{\underline{F}}$ , il semble s'agir du gradient de $\underline{x}$

Là où je "bloque" c'est pour la 2/
On a $\underline{\xi}=\underline{x}-\underline{X}$
Ainsi :
$\underline{\underline{\nabla}} \xi =\underline{\underline{\nabla}} x - \underline{\underline{\nabla}} X=\underline{\underline{F}} - (\underline{e_{R}} \otimes \underline{e_{R}}+ \underline{e_{\Theta}} \otimes \underline{e_{\Theta}} + \underline{e_{z}} \otimes \underline{e_{z}} )$
Je pourrais effectivement exprimer les vecteurs $\underline{e_{r}}, \underline{e_{\theta}}$ en fonction de $\underline{e_{R}}, \underline{e_{\Theta}}$ pour effectuer les calculs matriciels, mais il se trouve qu'en faisant cela je ne parviens pas au même résultat que le correcteur, car cela génère beaucoup de calculs. Par exemple on a
$\underline{e_r}= \cos((\alpha(t)-1)\Theta) \underline{e_R} + \sin((\alpha(t)-1)\Theta) \underline{e_{\Theta}}$

Dans l'expression finale, il n'est pas censé y avoir de $\Theta$ et dans mon calcul ceux-ci ne peuvent se simplifier. Je ne sais pas comment effectuer ce calcul.
Pouvez-vous m'aider ?
Merci.