Niveau école ingénieur

Calcul d'un commutateur

Posté par
Xenthys 04-05-13 à 17:34

Bonjour à tous et à toutes,

En essayant de faire une annale des années précédentes en mécanique quantique, je suis tombé sur le calcul d'un commutateur classique dont je ne comprends absolument pas la correction. Autrement dit, le prof fait en trois lignes ce que je fais en une page de lignes de calcul et je suis un peu perplexe par ses étapes.

Il faut calculer le commutateur [r.p, H] où H est le hamiltonien du système et ce hamiltonien s'écrit: H=p^2/2m+a*r^n.

En gros, le prof écrit pour le premier morceau du hamiltonien:
[r.p,p^2]= [x.p_x,p_x^2]+[y.p_y,p_y^2]+[z.p_z,p_z^2]
= [x,p_x^2]p_x+[y,p_y^2]p_y+[z,p_z^2]p_z
=2*i*h/(2)*(p_x^2+p_y^2+p_z^2)=2ih/(2)*p^2.

Comment fait-il pour passer aussi vite de la deuxième ligne à la troisième et d'où fait-il apparaître le 2ih/(2)? Je connais le commutateur [x,p_x] mais je ne pense pas que ça vienne de là ...

Merci d'avance!

Posté par re : Calcul d'un commutateur 25-06-13 à 19:42

Bonjour,

$[A,BC] = [A,B]C + B[A,C]$

et avec $i[tex] et [tex]j$ qui désignent les trois coordonnées (exemple : $x_2 = y$ , $p_1 = p_x$ , etc.)

$[x_i, p_j^2]p_j = [x_i,p_j]p_j^2 + p_j [ x_i, p_j ] p_j = 2i\hbar \delta_{ij} p_j^2$

(car $[x_i,p_j] = i\hbar \delta_{ij}$ , $p_j$ commute avec $i\hbar\delta_{ij}$ qui est un scalaire, et ici, c'est facile car pour les trois termes $i=j$ ).