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Calcul d'incertitude

Posté par
snwo 08-10-15 à 11:27

Bonjour à tous,

J'ai un problème sur un calcul d'incertitude, et un coup de main serait le bienvenue.

2 volume sont déterminés expérimentalement, et l'on détermine la fraction massique correspondante.

Soit V_A et V_B les 2 volumes de liquides de masse volumique \rho_A et \rho_B respectivement.

On peut donc déterminer le rapport massique \frac{m_A}{m_B} = \frac{\rho_A V_A}{\rho_B V_B} .

On peut alors exprimer la fraction massique de 2 façons :  x_B = \frac{m_B}{m_A+m_B} ou bien x_B = \frac{1}{1+\frac{m_A}{m_B}}.

Les incertitudes viennent de la mesure des volumes : \Delta V_A = 1 \times \Delta V et \Delta V_B = 2 \times \Delta V

Mon problème vient du fait que suivant l'expression de la fraction massique que j'utilise, je n'arrive jamais à calculé la même incertitude. Or comme les relations sont équivalentes, je devrai trouvait la même valeur d'incertitude, non?

Si un esprit moins perdu que moi sur ce problème peut m'indiquer la démarche à suivre pour déterminer cette incertitude, ce serai parfait !

Merci d'avance,

Posté par
vanoisere : Calcul d'incertitude 08-10-15 à 14:47

Bonjour,
si les incertitudes relatives sont faibles, une méthode possible consiste à écrire l'expression du logarithme népérien de xb puis à différentier. On assimile ensuite les différentielles aux erreurs et les incertitudes sont les majorants des valeurs absolues des erreurs...
x_{B}=\frac{\rho_{B}V_{B}}{\rho_{A}V_{A}+\rho_{B}V_{B}}
\ln\left(x_{B}\right)=\ln\left(\rho_{A}V_{A}\right)-\ln\left(\rho_{A}V_{A}+\rho_{B}V_{B}\right)
\frac{dx_{B}}{x_{B}}=\frac{d\left(\rho_{A}V_{A}\right)}{\rho_{A}V_{A}}-\frac{d\left(\rho_{A}V_{A}+\rho_{B}V_{B}\right)}{\rho_{A}V_{A}+\rho_{B}V_{B}}
Je te laisse assimiler puis terminer.

Posté par
vanoisere : Calcul d'incertitude 08-10-15 à 15:28

étourderie repérée trop tard : j'ai permuté les indices A et B dans le premier log de la ligne 2 et cela se répercute à la ligne 3...

Posté par
snwore : Calcul d'incertitude 08-10-15 à 17:14

Bonjour Vanoise,

Si je pars de \large x_B = \frac{1}{1+\frac{\rho_A V_A}{\rho_B V_B}}, j'ai donc :

\large \ln x_B = ln(1)- \ln \left(1+ \frac{\rho_A V_A}{\rho_B V_B}\right)\\ \\ \frac{d x_B}{x_B} = \frac{d\left(1+ \frac{\rho_A V_A}{\rho_B V_B}\right)}{\left(1+ \frac{\rho_A V_A}{\rho_B V_B}\right)}

or d\left(1+ \frac{\rho_A V_A}{\rho_B V_B}\right) = \frac{\rho_A}{\rho_B V_B}dV_A + \frac{\rho_A V_A}{\rho_B {V_B}^2}dV_B

donc au final :

\large \frac{\Delta x_B}{x_B} = \frac{\frac{m_A}{m_B} \left( \frac{\Delta V}{V_A}+\frac{2 \Delta V}{V_B} \right)}{1+ \frac{\rho_A V_A}{\rho_B V_B}}

Maintenant si je pars de \large x_B = \frac{\rho_B V_B}{\rho_A V_A + \rho_B V_B}}

\large \ln x_B = \ln (\rho_B V_B) - \ln (\rho_A V_A + \rho_B V_B) \\ \\ d(\rho_A V_A + \rho_B V_B) = \rho_A dV_A + \rho_B dV_B = \rho_A dV + 2\rho_B dV \\ \\ \frac{\Delta x_B}{x_B} = \frac{2 \Delta V}{V_B}+ \frac{\rho_A+2\rho_B}{\rho_A V_A + \rho_B V_B}\Delta V

Si je ne me trompe pas bien sûr. En faisant l'applcation numérique, je n'ai pas le même résultat, donc je soupçonne que j'ai fais une erreur quelque part...

Posté par
vanoisere : Calcul d'incertitude 08-10-15 à 18:00

Je crois avoir compris ton erreur : tu remplaces les différentielles trop tôt par les incertitudes. Il faut avancer le calcul avec les différentielles jusqu'à obtenir quelque chose de la forme :
\frac{dx_{B}}{x_{B}}=f(\rho_{A}V_{A},\rho_{B}V_{B})\cdot dV_{A}+g(\rho_{A}V_{A},\rho_{B}V_{B})\cdot dV_{B}
Remplacer trop tôt revient, pour Vb qui apparaît à la fois au numérateur et au dénominateur, à imaginer que l'erreur sur le Vb au numérateur pourrait être par excès alors que l'erreur sur le Vb au dénominateur pourrait être par défaut.

Posté par
vanoisere : Calcul d'incertitude 08-10-15 à 18:24

Autre problème : ne pas poser dVa=dVb : même si les incertitudes absolues sur les deux volumes sont identiques, les erreurs sur les deux volumes ne sont pas nécessairement égales.

Posté par
vanoisere : Calcul d'incertitude 08-10-15 à 19:04

Sauf erreur :
\begin{cases} \\ \text{Première méthode :} & x_{B}=\frac{\rho_{B}V_{B}}{\rho_{A}V_{A}+\rho_{B}V_{B}}\\ \\ \ln\left(x_{B}\right)=\ln\left(\rho_{B}V_{B}\right)-\ln\left(\rho_{A}V_{A}+\rho_{B}V_{B}\right)\\ \\ \frac{dx_{B}}{x_{B}}=\frac{\rho_{B}dV_{B}}{\rho_{B}V_{B}}-\frac{\rho_{A}dV_{A}+\rho_{B}dV_{B}}{\rho_{A}V_{A}+\rho_{B}V_{B}}=-\frac{\rho_{A}dV_{A}}{\rho_{A}V_{A}+\rho_{B}V_{B}}+\rho_{B}dV_{B}\left(\frac{1}{\rho_{B}V_{B}}-\frac{1}{\rho_{A}V_{A}+\rho_{B}V_{B}}\right)\\ \\ \frac{dx_{B}}{x_{B}}=-\frac{\rho_{A}dV_{A}}{\rho_{A}V_{A}+\rho_{B}V_{B}}+\frac{\rho_{A}V_{A}}{\rho_{A}V_{A}+\rho_{B}V_{B}}\cdot\frac{dV_{B}}{V_{B}}\frac{}{}\\ \\ \frac{\Delta x_{B}}{x_{B}}=\frac{\rho_{A}\Delta V_{A}}{\rho_{A}V_{A}+\rho_{B}V_{B}}+\frac{\rho_{A}V_{A}}{\rho_{A}V_{A}+\rho_{B}V_{B}}\cdot\frac{\Delta V_{B}}{V_{B}} \\ \end{cases}
\begin{cases} \\ \text{Seconde méthode :} & x_{B}=\frac{1}{1+\frac{\rho_{A}V_{A}}{\rho_{B}V_{B}}}\\ \\ \ln\left(x_{B}\right)=-\ln\left(1+\frac{\rho_{A}V_{A}}{\rho_{B}V_{B}}\right)\\ \\ \frac{dx_{B}}{x_{B}}=\frac{-d\left(1+\frac{\rho_{A}V_{A}}{\rho_{B}V_{B}}\right)}{1+\frac{\rho_{A}V_{A}}{\rho_{B}V_{B}}} & \frac{dx_{B}}{x_{B}}=\frac{-\frac{\rho_{A}dV_{A}}{\rho_{B}V_{B}}+\frac{\rho_{A}V_{A}}{\rho_{B}V_{B}^{2}}\cdot dV_{B}}{1+\frac{\rho_{A}V_{A}}{\rho_{B}V_{B}}}\\ \\ \frac{dx_{B}}{x_{B}}=-\frac{\rho_{A}dV_{A}}{\rho_{A}V_{A}+\rho_{B}V_{B}}+\frac{\rho_{A}V_{A}}{\rho_{A}V_{A}+\rho_{B}V_{B}}\cdot\frac{dV_{B}}{V_{B}} & \text{soit la même chose que par l'autre méthode...} \\ \end{cases}

Posté par
snwore : Calcul d'incertitude 13-10-15 à 10:22

Merci beaucoup !

Je vois maintenant où je faisait l'erreur !

Merci encore !

Posté par
vanoisere : Calcul d'incertitude 13-10-15 à 13:38

De rien ! N'hésite pas à porter à nouveau en cas de difficulté.


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