Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île de la physique - chimie Forum de physique - chimieListe de tous les forums de physique - chimie SupérieurOn parle exclusivement de physique/chimie, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... École ingénieurForum supérieur ingé PhysiqueTopics traitant de Physique [tout]Lister tous les topics de physique - chimie
Niveau école ingénieur
Partager :

Bruit thermique : facteur 4

Posté par
zebrico 11-11-20 à 21:30

Bonsoir à toutes et à tous,

Je me pose une petite question sur le bruit thermique et l'expression du courant associé.
On trouve partout le facteur 4 mais j'ai du mal à savoir pourquoi.

Du coup j'ai repris le papier de Nyquist : THERMAL AGITATION OF ELECTRIC CHARGE
IN CONDUCTORS, Physical Review letter, volume 32, juillet 1928   et je bloque sur son explication ( juste avant l'équation (1) :

Citation :
It was pointed out above that the current in the circuit of Fig. i due to
the electromotive force of either conductor is obtained by dividing the
electromotive force by 2R, and that the power transferred to the other
conductor is obtained by multiplying the square of the current by R


J'ai envie de dire " ça sort d'où son truc???" ( malgré l'immense respect que j'ai pour ce cher Nyquist )

Dans ma démonstration j'ai donc que l'énergie transportée par unité de temps (E_{tot,t}, ça c'est ma notation, la sienne me perturbe...)

s'écrit :

E_{tot,t} = k \cdot T \cdot\nu

où k la constante de Boltzmann et T la température.

Mais en soit une énergie par unité de temps c'est une puissance.
Or la puissance dans une résistance c'est

P=R\cdot \sigma^2

où

\sigma^2

c'est en fait le courant thermique et donc :

R\cdot \sigma^2=k\cdot T\cdot\nu \iff \sigma^2=\frac{k \cdot T \cdot d\nu}{R}

Et du coup, pas de facteur 4!

D'ailleurs j'en profite pour demander, ça sort d'où le fait que l'énergie d'un mode s'ecrit :

k\cdot T

Il faut faire de la physique stat pour le trouver?


Merci d'avance!

Posté par
zebricore : Bruit thermique : facteur 4 11-11-20 à 21:30

je me suis planté à chaque fois que j'ai écrit \nu tout seul, c'était d\nu que je voulais taper...

Posté par
diracre : Bruit thermique : facteur 4 09-12-20 à 17:36

Hello Zebrico

Je n'ai vu ce "vieux" post que ce matin et ne connaissais pas ce papier de Nyquist.  Il m'a fallu un peu de temps pour le "déchiffrer" et conduire le même raisonnement ...

Les pistes para rapport à tes 2 questionnements:

1/Pourquoi l'énergie d'un mode = kT. Parce que le théorème d'équipartition s'applique à l'énergie, ici énergies électrique et magnétique. Donc 2 degré de liberté.

2/ Ensuite et surtout: d'ou sort le 4. L'expérience consiste à "piéger" l'énergie dans la ligne de transmission (les considérations sur les modes de vibration) et à rapprocher cette énergie des puissances délivrées par les 2 résistances. Ce facteur 2 intervient en particulier dans le calcul de l'énergie totale "piégée" et dans l'expression des puissances exprimées en fonction des tensions

Voila quelques pistes.... Le sujet étant un peu froid, je te laisse le réchauffer si cela t'intéresse  

Posté par
gbm Webmasterre : Bruit thermique : facteur 4 09-12-20 à 18:27

Salut dirac, vu que l'hiver approche on va en avoir besoin de chaleur

Posté par
diracre : Bruit thermique : facteur 4 09-12-20 à 20:33

Hello gbm,
Toutes mes amitiés à la population de l'Ile
Zebrico décidera de rallumer le feu de ce post que, perso, j'ai trouvé très intéressant

Posté par
zebricore : Bruit thermique : facteur 4 09-12-20 à 20:37

Merci Dirac de ta réponse,

Ok pour le kT je vais me contenter de ça pour l'instant.
Quant au 4.
J'avoue que votre réponse m'inspire pas grand chose.
La tension est sinusoïdale V(t)=V_o\cdot cos(\omega\cdot t) et le courant est déphasé I(t) = I_o\cdot cos(\omega\cdot t+\varphi)
Du coup la puissance donne :

P(t) = \frac{V_o\cdot I_o}{2}\cdot [cos(2\cdot \omega\cdot t+\varphi)+cos(\varphi)]

Mais en prenant la valeur moyenne on a le premier cosinus qui donne 0 et le second bah... bref, ça ne semble pas être là...
Du coup je me dis que j'ai pas bien saisi ce à quoi vous faisiez référence?

Merci encore et à bientôt j'espère!

Posté par
zebricore : Bruit thermique : facteur 4 09-12-20 à 20:41

Bon j'avoue avoir fait un gros raccourci ici en disant que la tension s'écrivait comme ça, puisque c'est une onde stationnaire.
Donc s'écrit V(t)=V_o\cdot cos(\omega\cdot t)\cdot cos(2\cdot \pi/\lambda\cdot z)
En fait j'ai supposé que le courant s'écrivait de façon similaire juste avec un déphasage temporel et donc la partie avec le z importe peu.
"supposé" c'est pas trop vrai puisque l'équation des lignes est la même pour les deux grandeurs, à moins que je me plante?

Posté par
diracre : Bruit thermique : facteur 4 10-12-20 à 10:08

Hello Zebrico,

Reprenons le papier de Nyquist au moment où le court circuit est établi, « piègeant » ainsi une certaine quantité d'énergie dans la ligne de transmission.

Nyquist compte ensuite le nombre de vibrations qui ont pu s'installer dans la ligne dans l'intervalle [\nu ; \nu+d\nu]
Sachant que ces modes sont de la forme f_k = k\frac{v}{2l}  avec k = 1,2, 3, …, ce nombre vaut :

n = 2\frac{l}{v}d\nu   (1)

Le théorème de l'équipartition s'appliquant par ailleurs aux 2 composantes de l'énergie (électrique + magnétique) le nombre de degré le liberté est  2 \times n

Donc l'énergie dE pour la largeur de bande d est (attention « mon » E n'est pas celui du papier de Nyquist qui l'utilise pour la tension)  

dE = 2 \times n \times \frac{1}{2}k_BT (2)

Cette énergie étant celle envoyée par les 2 résistances dans la ligne durant le temps t (t = \frac{l}{v} , la puissance dP pour pour l'ntervalle de fréquence d est:

dP = \frac{dE}{t} = dE\frac{v}{l} (3)

En combinant (1), (2), (3)  ont obtient :

dE = \frac{l}{v}k_BTd\nu  (4)  

dP = 2 \times  2\frac{l}{v}d\nu \frac{1}{2}k_BT \times \frac{v}{l}= 2k_BTd\nu   (5)

… Ouf on n'est plus qu'à quelques lignes de l'équation qui te pose problème

Rembobinons maintenant au moment où le circuit n'était pas court-circuité. Notons V_n (j'ai plus de E disponible ) la tension délivrée par l'une (ou l'autre) des 2 resistances.
Si l'on oublie pas les caractéristiques de la ligne choisie par Nyquist (R = \sqrt{\frac{L}{C}}), alors (comme les 2 resistances délivrent dans la ligne):

P  = 2 \times \frac{1}{R}(\frac{V_n}{2})^2= \frac{1}{2R}V^2_n   (6)

Et donc dP = \frac{1}{2R}\frac{\bar{V_n^2}}{\Delta\nu}d\nu  (7)

On rapproche (5) et (7) et on est  bon je crois (le E de Nyquist correspondant à "ma"  moyenne quadratique )

Sauf grosse boulette (1928 c'est pas tout jeune) ou coquille (je me relis très mal)

Posté par
diracre : Bruit thermique : facteur 4 10-12-20 à 10:27

Tiens, j'avais zappé ton msg de 20:41

Là où tu t'égares (dit avec gentillesse, je ne me permettrais pas) c'est que tu dois considérer que le bruit thermique émet non pas sur 1 fréquence sur un spectre continu

Ce qui d'ailleurs (quand tu auras digéré Nyquist) doit te pousser à un autre questionnement: l'énergie totale de ce modèle ne serait elle pas infinie? Et donc où a t on fait une hypothèse qui a des limites (nécessairement sur la fréquence)

Posté par
zebricore : Bruit thermique : facteur 4 10-12-20 à 14:20

Cher Dirac,

vous n'aviez pas besoin de taper toute la démonstration, je l'avais déjà de mon côté.
C'est au niveau de votre équation (5) qu'apparaît un 2 que je ne comprends pas.
Est ce que c'est lié au degré de liberté n qui vaut n=2 ici?

Sinon j'aurais plutôt rapproché (5) et (6) perso en utilisant une différence \Delta\bullet et non une différentielle $d\bullet, mais c'est à ce moment là que les mathématicien nous engueulent :p

Et pourquoi vous indiquez que :

P = 2\cdot \frac{1}{R}\cdot \left(\frac{V_n}{2}\right)^2

Perso j'aurais juste écrit :

P = V_n^2/R

J'ai l'impression que le premier 2 correspond au fait qu'il y a 2 résistances qui délivrent la même tension égale à V_n/2?



Quant à la seconde réponse :

Citation :
dit avec gentillesse, je ne me permettrais pas


Ce n'est pas parce que l'on vit dans un monde devenu très prout prout précieux, qu'il faut faire des courbettes à tout bout de champ!
Mais bon j'imagine que c'est un autre débat.
Donc bien sûr que non, dit comme ça il n'y aucune chance pour que je le prennes mal!


Citation :
l'énergie totale de ce modèle ne serait elle pas infinie?


Oui j'imagine que c'est parce qu'on a pris une onde plane alors qu'il faudrait considérer un profil plutôt gaussien ou peut-être plus comme une fonction de bessel "cardinal" si l'on considère que le fil est à géométrie cylindrique..
à moins que je m'enflamme comme quelqu'un qui étale sa confiture... ce qui n'est pas le but, je fais juste un lien avec la propagation dans les fibres ( j'oubliais de préciser, je suis futur opticien )

Posté par
zebricore : Bruit thermique : facteur 4 10-12-20 à 14:20

Ah et merci au passage

Posté par
diracre : Bruit thermique : facteur 4 10-12-20 à 16:35

Hello

Dans le désordre:

Citation :
on vit dans un monde devenu très prout prout précieux


Si tu parle d'un temps ou nous vivions dans des cavernes, sans doute ... Perso, à 57 ans, je pense très sincèrement que c'est tout le contraire: en entreprise, à l'école, dans le privé ... Je fais des piges dans des établissements du supérieur et je peux te dire que le rapport aux élèves est moins "fun" qu'il y a 10 ans qui était déjà moins sympa qu'il y a 20 ans ... Pas mal de contributeurs de ce site témoigneront également d'une érosion certaine de la courtoisie

Citation :
C'est au niveau de votre équation (5) qu'apparaît un 2 que je ne comprends pas.
Est ce que c'est lié au degré de liberté n qui vaut n=2 ici?


Le 2 de (5) vient du fait que les 2 résistances contribuent, c'est le même facteur 2 que dans (6)

Citation :
Est ce que c'est lié au degré de liberté n qui vaut n=2 ici?


Il n'y a pas 2 degrés de libertés mais 2 fois n,  le 2 venant de (électrique/magnetique) et le n du nombre  de modes vibratoires dans la largeur d du spectre

Citation :
Perso j'aurais juste écrit :  ...


Le facteur 2 on vient d'en parler, le 1/2 de Vn/2 vient de ce que seule la moitié de la fem d'une des résistances est mise à la disposition de la ligne ... C'est un des points d'attention de ce dispositif qui nécessite 2 résistances (tiens d'ailleurs, pourquoi l'expérience n'aurait pas été pertinente/possible avec une seule?), il faut bien gérer les x2 et les /2

Citation :
l'énergie totale de ce modèle ne serait elle pas infinie?


La raison est fait que le modèle de "Boltzmann- Maxwell" a ces limites dès lors que h n'est plus << à kBT. Dans le cas contraire il faut le remplacer par le modèle de Bose-Einstein   

Citation :
Sinon j'aurais plutôt rapproché (5) et (6) perso


Ah, mais tu aurais eu tort ... dans un cas on est sur une band de largeur d et l'on compte les degrés de libertés pour pouvoir calculer l'énergie à partir du théorème d'équipartition, dans l'autre on est sur une moyenne quadratique.

Posté par
zebricore : Bruit thermique : facteur 4 10-12-20 à 23:02

Rebonjour,

Citation :
érosion certaine de la courtoisie


C'est peut être alors ma vision de "jeune" qui ne distingue pas suffisamment la "courtoisie" des "courbettes" uniquement destinées à prévenir les envolées de susceptibilités de peur d'avoir des problèmes....
Mais bon à nouveau je ne pense pas que ce soit l'objet de ce forum ^_^

Ceci :
Citation :
Il n'y a pas 2 degrés de libertés mais 2 fois n,  le 2 venant de (électrique/magnetique) et le n du nombre  de modes vibratoires dans la largeur d du spectre


et cela :
Citation :
La raison est fait que le modèle de "Boltzmann- Maxwell" a ces limites dès lors que h n'est plus << à kBT. Dans le cas contraire il faut le remplacer par le modèle de Bose-Einstein


Montrent bien mon absence de notions de physique statistique.
Et la seconde citation montre aussi que j'étais totalement à côté de la plaque avec mes profils gaussien etc.
L'avantage c'est qu'étant toujours étudiant, j'ai encore le droit de dire des bêtises

Citation :
tiens d'ailleurs, pourquoi l'expérience n'aurait pas été pertinente/possible avec une seule


J'oserai dire que c'est pour créer une cavité résonnante dans laquelle les miroirs seraient joué par les interfaces fil/résistance?
Mais dans ce cas là une résistance unique suffirait également si on replie un fil sur une même résistance.
Donc j'en sais rien.

Citation :
Ah, mais tu aurais eu tort ... dans un cas on est sur une bande de largeur d et l'on compte les degrés de libertés pour pouvoir calculer l'énergie à partir du théorème d'équipartition, dans l'autre on est sur une moyenne quadratique


J'avoue que je n'ai pas suivi d'où venait la moyenne quadratique...
Car il semblerait que votre passage de (6) à (7) ne soit pas une différentielle au sens mathématique.
Plus précisément c'est le rapport d \nu/\Delta\nu dont j'ai du mal à identifier l'origine point de vue calculatoire.

Je suis désolé, je comprends vite mais il faut m'expliquer longtemps :p
Merci encore.

Posté par
diracre : Bruit thermique : facteur 4 11-12-20 à 07:33

Hello Zebrico,

Citation :
J'avoue que je n'ai pas suivi d'où venait la moyenne quadratique...


Histoire de ne pas me recogner des lignes d'équations dont tu me diras "je les ai déjà"

1. un TP de tes collègues opticiens de Paritech (lire chapitre 2)

2. un rappel sur l'objectif de l'expérience de Nyquist: démontrer que la densité de puissance du bruit de tension du au bruit de Johnson est, pour une résistance R du conducteur, égale à 4kTR

Posté par
zebricore : Bruit thermique : facteur 4 12-12-20 à 18:24

Merci pour le lien, il est super!
Si j'avais pu avoir un vrai TP comme ça, j'aurais jamais eu le droit de poser le genre de questions que j'ai posé :p

Du coup j'en ai retenu que pour un bruit blanc on a :

V_{eff}^2 = v_n^2\cdot \Delta \nu

Et donc en prenant votre équation ( 6 ) on a :

P= \frac{1}{2\cdot R}\cdot \frac{V_{eff}^2}{\Delta \nu}

Mais je ne comprends donc toujours pas d'où sors le d\nu de votre relation ( 7 )..
En fait il y a indiqué que la puissance à la fréquence \nu_o est donnée par :

P(\nu_o)=\frac{1}{R_{AS}}\cdot \int_{\nu_o-\Delta\nu/2}^{\nu_o+\Delta\nu/2}\ V_n^2\ d\nu

et donc en enlevant l'intégrale et en prenant R_{AS}=2\cdot R on obtiendrait votre relation ( 7 )... C'est bien ça le raisonnement à suivre?


Citation :
J'oserai dire que c'est pour créer une cavité résonnante dans laquelle les miroirs seraient joué par les interfaces fil/résistance?
Mais dans ce cas là une résistance unique suffirait également si on replie un fil sur une même résistance.
Donc j'en sais rien.


Vous n'avez pas réagi... j'ai dit une si grosse bêtise?


Citation :
Histoire de ne pas me recogner des lignes d'équations dont tu me diras "je les ai déjà"


Il ne fallait pas mal le prendre, si c'est vraiment le cas j'en suis désolé.

Merci encore beaucoup!!

Posté par
diracre : Bruit thermique : facteur 4 13-12-20 à 08:06

Hello Zebrico

Citation :
Mais je ne comprends donc toujours pas d'où sort le ...


Bon, je réécris les équations (6) et (7) en mixant avec les notations/le contenu du chapitre 2 du TP:


\forall \nu,     P(\nu)  = 2 \times \frac{1}{R}(\frac{v_n(\nu)}{2})^2= \frac{1}{2R}v^2_n(\nu)   (6)

Or la valeur efficace du bruit de tension étant supposée constante le long de la bande passante:

\forall \nu,     v_n(\nu)= \frac{V_{eff}}{\Delta \nu}

Et donc  sur une largeur de bande d autour de la  fréquence :

dP(\nu) = \frac{1}{2R}\frac{V_{eff}^2}{\Delta\nu}d\nu (7)


Citation :
Vous n'avez pas réagi... j'ai dit une si grosse bêtise?


Il y avait d'autres trucs à régler avant   : la raison est qu'il faut bien que le bruit de tension de RI dissipe son énergie dans qlq chose d'autre ... RII

Bon, là je pense que l'on a fait le tour de la question (peut être reposer le pbm avec le modèle de Bose-Einstein, mais sans grand intérêt sur le fond il me semble).
De mon côté j'ai étalé toute la confiture inflammable dont je disposais

Tu sonnes cependant si besoin (il fait froid et j'ai vraiment pas envie d'aller promener les chiens aujourd'hui )

Posté par
zebricore : Bruit thermique : facteur 4 13-12-20 à 09:34

wow, je me rends compte à quel point je suis à la ramasse ces derniers jours ...
Ce qui me manquait, parce que j'avais pas fait le lien avec le bruit blanc, que la densité spectrale est constante et donc intégrer dP sur un intervalle valant \Delta\nu donnait le résultat...

vraiment désolé de ma lenteur...


Citation :
la raison est qu'il faut bien que le bruit de tension de RI dissipe son énergie dans qlq chose d'autre ... RII


c'est pas bête oui :p

Quant à reprendre le problème avec Bose-Einstein, je n'ai pas le bagage donc ça sera pour plus tard...

Un grand merci pour votre patience.

Posté par
diracre : Bruit thermique : facteur 4 13-12-20 à 10:28

Citation :
à quel point je suis à la ramasse


Allons, allons   "Cheer Up " comme disait sans doute Nyquist à Johnson qui n'avait que le résultat qualitatif

Le problème que nous venons de résoudre n'a rien de trivial: ni dans le raisonnement, ni dans l'outillage mathématique qu'il embarque

Bonne continuation sur ton chemin optique et au plaisir de te croiser sur


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île
Mentions légales - Retrouvez cette page sur l'île de la physique - chimie
© digiSchool 2025

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !