Bonjour
Concernant l'expression du vecteur champ créé par les deux courants, il faut aussi préciser la direction et le sens. C'est important en soit et important pour exprimer ensuite le flux.
Concernant le calcul du flux, tu peux imaginer l'enroulement torique suffisamment serré pour que la bobine torique soit équivalente à N spires circulaires de rayon r_b de normale orienté suivant . L'approximation demandée consiste à considérer que, dans la mesure où r<<R, R en tout point de chaque spire ; cela revient à calculer le flux à travers une spire comme si la norme B étant en tout point de la spire égale à la norme de B en =R.

Merci de votre réponse et oui j‘ai oublié de préciser la direction de B qui est selon eφ mais son sens ne dépend pas si on se trouve à gauche ou à droite de la barre de courant I(t)  ?
Et d'accord je me disais bien que je change mon expression de B et
je remplace 𝜌 par R. —> ( B(r) = ( μ / (2.pi. R) ) x (I(t) + N.i(t)) )
Mais du coup pour les bornes d'intégration et les 2 variables de dS je ne sais pas quoi prendre  ? Si je prend d𝜌 et dφ , B ne dépend alors pas des ces 2 variables et j'aurai seulement dS à intégrer ?
J‘aurai : 𝜙(𝑡)=B(r) dS

La base est la base cylindro-polaire locale qui se déplace en fonction de la position du point M où on calcule le vecteur champ. Le vecteur est orientée vers l'arrière de la figure pour les points M situés à droite de l'axe (Oz) que matérialise de fil et vers l'avant de la figure pour les points M à gauche.

Tu es sûr du sens de sachant que le sens positif du courant circulant dans le fil est le sens descendant ? Regarde bien aussi le sens positif du courant circulant dans le tore. Selon moi le vecteur associé à chaque spire est orienté suivant .

Le champ créé par le tore à l'extérieur de celui-ci est de vecteur nul.

Pour le flux à travers une spire : tu obtiens tout simplement .r_b²B_(R). A toi de trouver le signe !