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Bille chargée électriquement : travail et énergie.

Posté par
Anapoda 22-03-11 à 12:08

Bonjour.
Je suis sur un exercice de mécanique qui me pose problème.
L'énoncé est le suivant : Une bille de masse m se déplace le long d'un rail vertical, cette bille a une charge q positive. On place également une charge Q positive sur le rail en un point O correspondant à l'origine du référentiel, dont l'axe vertical est orienté vers le haut. La position de la bille est définie par une coordonnée z. On lâche la bille du point A situé au dessus de la charge en O, sans vitesse initiale.

1 Faites la liste des forces s'exerçant sur la bille en donnant l'orientation, la norme, et la composante le long de l'axe (Oz) de chacune de ces forces.

2 Determinez le travail de la force electrostatique lorsque la bille est déplacée du point A de coordonnée Za au point B quelconque de coordonnée Zb.

3 En utilisant le théorème de l'energie cinétique, reliez la vitesse v du mobile (la bille) au point B, à sa coordonnée Zb, et à la coordonnée de la position initiale Za.



L'exercice continue après ça mais j'aurais besoin d'aide pour les questions 2 et 3. Voici ce que j'ai fait, mais ca ne me semble pas correct :

1 Bon ici je fais vite, on a le poids \vec{P}=mg\vec{z}, la répulsion magnétique \vec{R}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{\text{0}}}\cdot\frac{Qq}{[Oz]^2}\vec{z}\ \\ et les forces de frottement.


2 Ici ca devient chaotique, j'ai trouvé deux manières différentes d'aboutir respectivement à deux formules différentes pour calculer le travail de R...

Méthode 1 : W_{\vec{R}}=-{P}\cdot{[AM]}=-\frac{1}{4\pi\epsilon_{\text{0}}}\cdot\frac{Qq}{Za^2}(Zb-Za)

Méthode 2 : W_{\vec{R}}=\int^{Zb}_{Za}{(-\frac{1}{4\pi\epsilon_{\text{0}}}\cdot\frac{Qq}{Z^2}dZ)}=-\frac{Qq}{4\pi\epsilon_{\text{0}}}\cdot(\frac{1}{Za}-\frac{1}{Zb})

Je ne suis même pas vraiment convaincu que l'une des deux soit correcte. Ou plutôt je suis quasiment convaincu que ce n'est pas le cas...


3 Je continue quand même, en prenant le résultat de la formule 1 :
\frac{1}{2}mv^2=-mg(Zb-Za)+\frac{Qq(Zb-Za)}{4\pi\epsilon_{0}Za^2}
Ce qui donne :
v=\sqrt{2(Zb-Za)(\frac{Qq}{4\pi\epsilon_{0}Za^2}-mg)

Ce qui, bien évidemment, est absolument faux et ne permet pas de continuer l'exercice.

Quelqu'un pourrait-il m'indiquer ce que j'ai fait de travers s'il vous plait et m'aider à résoudre ces questions ? Merci d'avance.

Posté par
Marc35re : Bille chargée électriquement : travail et énergie. 22-03-11 à 18:11

Bonjour,
1)

Citation :
l'orientation, la norme, et la composante le long de l'axe (Oz) de chacune de ces forces

- le poids
orientation : vertical et vers le bas
norme : ||\vec{P}||\,=\,mg
composante suivant Oz :  \vec{P}\,=\,-\,mg\,\vec{z}  (parce que axe orienté vers le haut)
- la force électrostatique
orientation : vertical et vers le haut (charges de même signe)
norme : 3$||\vec{F}||\,=\,\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q\,q}{z^2}  puisque la bille de charge q est en z et la charge Q est en O ==> distance entre les deux = z.
composante suivant Oz : 3$\vec{F}\,=\,\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q\,q}{z^2}\,\vec{z} (positive puisque orientée vers le haut)
2)
Citation :
le travail de la force electrostatique lorsque la bille est déplacée du point A de coordonnée Za au point B quelconque de coordonnée Zb

Comme la force varie avec la distance, il faut forcément intégrer.
3$W\,=\,\int_z_A^{z_B}\,\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q\,q}{z^2}\,dz\,=\,-\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0}\,\int_z_A^{z_B}\,-\,\frac{1}{z^2}\,dz\,=\,-\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0}\,\left(\frac{1}{z_B}\,-\,\frac{1}{z_A}\right)
Mais il faut se préoccuper du signe de W. Il y a deux cas possibles à mon avis selon que P > F ou P < F.
La suite un peu plus tard...

Posté par
Marc35re : Bille chargée électriquement : travail et énergie. 22-03-11 à 19:36

Si P > F en A, la bille descend donc la force électrostatique est en sens inverse du déplacement. Le travail est donc négatif (résistant).
Si P < F en A, la bille monte donc la force électrostatique est dans le sens du déplacement. Le travail est positif (moteur).
Dans le premier cas, z_B\,<\,z_A ==> \frac{1}{z_B}\,>\,\frac{1}{z_A}\,\Rightarrow\,\frac{1}{z_B}\,-\,\frac{1}{z_A}\,>\,0
3$W\,=\,-\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0}\,\left(\frac{1}{z_B}\,-\,\frac{1}{z_A}\right)
Le travail est bien négatif.
Dans le deuxième cas, z_B\,>\,z_A ==> \frac{1}{z_B}\,<\,\frac{1}{z_A}\,\Rightarrow\,\frac{1}{z_B}\,-\,\frac{1}{z_A}\,<\,0
3$W\,=\,-\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0}\,\left(\frac{1}{z_B}\,-\,\frac{1}{z_A}\right)
Le travail est bien positif.

Il y a une autre façon de le calculer : W\,=\,q\,(V_A-V_B)  pour un déplacement de A à B
sachant que le potentiel dû à une charge ponctuelle Q à la distance z est :  3$V\,=\,\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q}{z}.
Donc 3$W\,=\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0}\,\left(\frac{1}{z_A}\,-\,\frac{1}{z_B}\right)
C'est le même résultat, bien entendu...

Posté par
Marc35re : Bille chargée électriquement : travail et énergie. 22-03-11 à 20:25

Pour la 3
3$\frac{1}{2}mv_B^2\,-\,\frac{1}{2}mv_A^2\,=\,-mg(z_B-z_A)\,+\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{z_A}\,-\,\frac{1}{z_B}\right)
3$\frac{1}{2}mv_B^2\,-\,0\,=\,-mg(z_B-z_A)\,+\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{z_B-z_A}{z_Az_B}
3$\frac{1}{2}mv_B^2\,=\,(z_B-z_A)\,\left(\,+\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0z_Az_B}-mg\right)
3$v_B^2\,=\,\frac{2(z_B-z_A)}{m}\,\left(\,+\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0z_Az_B}-mg\right)
3$v_B\,=\,sqrt{\frac{2(z_B-z_A)}{m}\,\left(\,+\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0z_Az_B}-mg\right)}

Posté par
Anapodare : Bille chargée électriquement : travail et énergie. 23-03-11 à 10:51

Merci beaucoup, Marc, pour tes réponses.

Mais je croyais que le travail était l'intégrale de l'opposé d'une force... Ici tu l'as calculé en gardant le signe initial de la force, est ce que quelque chose m'échappe ?


Un peu plus loin dans l'exercice on me demande de montrer qu'il existe un point M où la bille s'arrête et d'en trouver la coordonnée Zm. (Je rappelle que la bille doit tomber du point A vers le point M situé plus bas sur le rail, c'est à dire plus proche de O.)
Je considère donc que l'énergie cinétique en C est nulle et que la variation d'énergie cinétique le long du trajet de A vers C est l'opposé de celle de A.
Ecm=0 et Ec=-Eca
Ainsi, la somme des travaux du poids et de la force électrostatique serait égale à -Eca.

Le problème est que je ne connais pas Va et qu'on me dit dans la question que je suis censé avoir à résoudre un polynôme du second degré... Ai-je négligé quelque chose ? Il me semble qu'il est bien question ici d'énergie cinétique, celle-ci doit être compensée par quelque chose, la vitesse doit s'annuler puis s'inverser afin que la bille retrouve un état d'équilibre à un point d'équilibre qui sera forcément au-dessus du point M. Pourrais-tu me donner un indice s'il te plait ?


Désolé, la mécanique n'a jamais vraiment été mon point fort.

Posté par
Anapodare : Bille chargée électriquement : travail et énergie. 23-03-11 à 10:53

Oups, j'ai parlé d'énergie cinétique en C, je voulais dire en M ! Je parlais de Ecm.

Posté par
Anapodare : Bille chargée électriquement : travail et énergie. 23-03-11 à 10:54

Plus loin aussi j'ai parlé de C, je voulais dire M, je m'embrouille tout seul. Donc le point C n'existe pas, il s'agit du point M. Milles excuses.

Posté par
Marc35re : Bille chargée électriquement : travail et énergie. 23-03-11 à 11:42

Non, le travail n'est pas l'intégrale de l'opposé d'une force.
Le travail est un produit scalaire. Une force \vec{F} dont le point d'application se déplace de  \vec{l} est :  W\,=\,\vec{F}\,.\,\vec{l}\,=\,||\vec{F}||\,.\,||\vec{l}||\,.\,cos(\vec{F}\,,\,\vec{l})

Posté par
Marc35re : Bille chargée électriquement : travail et énergie. 23-03-11 à 15:13

Cette formule est une formule de base (définition).
Si la force varie avec la distance, on ne peut pas l'utiliser telle quelle. On est obligé de passer par une intégrale.
3$W\,=\,\int_A^B\,\vec{F(z)}\,.\,\vec{dz}
Par projection sur des axes ou sur un axe dans les cas les plus faciles :
3$W\,=\,\int_{z_A}^{z_B}\,F(z)\,dz\,cos(\vec{F(z)}\,,\,\vec{dz})

Citation :
Je rappelle que la bille doit tomber du point A vers le point M situé plus bas sur le rail, c'est à dire plus proche de O

Ce n'est pas explicitement indiqué si on prend l'énoncé tel qu'il est mais c'est l'hypothèse la plus probable.
Citation :
on me demande de montrer qu'il existe un point M où la bille s'arrête et d'en trouver la coordonnée ZM

On peut le faire avec l'énergie cinétique, surtout que les questions précédentes "préparent le terrain" en demandant de calculer le travail de la force électrostatique, par exemple.
Il faut bien voir que le mouvement se décompose en deux phases : une phase accélérée (pas uniformément ! ) et  une phase décélérée.
Comme d'habitude, on a :  3$m\,\vec{a}\,=\,\sum\,\vec{F} .
Donc, au début, P > F, on a donc une accélération (vers le bas) qui est variable puisque F varie avec la distance. F augmente puisque la distance entre les deux charges diminue donc la somme diminue, les deux forces étant opposées.
On arrive à un point que l'on va appeler C où P = F. L'accélération est nulle par conséquent. La vitesse est donc maximum, la dérivée étant nulle (en toute rigueur, c'est un extremum mais ce ne peut pas être un minimum puisqu'on part de 0).
Ensuite, F > P donc la bille est freinée jusqu'à un point M où sa vitesse est nulle.
Il est facile de trouver le z pour lequel P = F ==> 3$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q\,q}{z_C^2}\,=\,mg\,\Rightarrow\,z_C\,=\,...
On a :
3$\frac{1}{2}mv_C^2\,-\,\frac{1}{2}mv_A^2\,=\,-mg(z_C-z_A)\,+\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{z_A}\,-\,\frac{1}{z_C}\right)
3$\frac{1}{2}mv_C^2\,=\,-mg(z_C-z_A)\,+\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{z_A}\,-\,\frac{1}{z_C}\right)
Ceci a déjà été résolu à la question 3 :
3$v_C^2\,=\,\frac{2(z_C-z_A)}{m}\,\left(\,+\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0z_Az_C}-mg\right)
3$v_C\,=\,sqrt{\frac{2(z_C-z_A)}{m}\,\left(\,+\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0z_Az_C}-mg\right)} \\   
Pour le point M :
3$\frac{1}{2}mv_M^2\,-\,\frac{1}{2}mv_C^2\,=\,-mg(z_M-z_C)\,+\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{z_C}\,-\,\frac{1}{z_M}\right)
3$-\,\frac{1}{2}mv_C^2\,=\,-mg(z_M-z_C)\,+\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{z_C}\,-\,\frac{1}{z_M}\right)
3$v_C\,=\,sqrt{\frac{2(z_M-z_C)}{m}\,\left(\,-\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0z_Cz_M}+mg\right)} \\
3$sqrt{\frac{2(z_C-z_A)}{m}\,\left(\,-\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0z_Az_C}+mg\right)}\,=\,sqrt{\frac{2(z_M-z_C)}{m}\,\left(\,-\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0z_Cz_M}+mg\right)} \\
3$\frac{2(z_C-z_A)}{m}\,\left(\,+\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0z_Az_C}-mg\right)\,=\,\frac{2(z_M-z_C)}{m}\,\left(\,-\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0z_Cz_M}+mg\right) \\
Les réductions au même dénominateur vont amener un trinôme du second degré en zM2

Vérifie mais ça doit être correct (sauf d'éventuelles erreurs de copier-coller). j'ai fait ça un peu vite...

Posté par
Marc35re : Bille chargée électriquement : travail et énergie. 23-03-11 à 18:17

Il est sans doute plus simple de prendre :
3$\frac{1}{2}mv_C^2\,=\,-mg(z_C-z_A)\,+\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{z_A}\,-\,\frac{1}{z_C}\right)
Et :
3$-\,\frac{1}{2}mv_C^2\,=\,-mg(z_M-z_C)\,+\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{z_C}\,-\,\frac{1}{z_M}\right)
En additionnant :
3$-mg(z_C-z_A)\,+\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{z_A}\,-\,\frac{1}{z_C}\right)\,-\,mg(z_M-z_C)\,+\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{z_C}\,-\,\frac{1}{z_M}\right)\,=\,0
Les zC disparaissent (je crois, je n'ai pas fait le calcul) donc pas besoin de le calculer.
Le calcul est beaucoup plus simple.

Posté par
Anapodare : Bille chargée électriquement : travail et énergie. 23-03-11 à 19:30

Merci beaucoup Marc, tu m'as bien aidé. Argh c'est con j'y étais presque, je voulais me servir d'un point C situé entre le point A et le point M, mais je ne voyais pas comment le déterminer, je n'avais pas du tout pensé au cas P = F, qui semble pourtant évident. Avec le recul je me sens un peu bête... Mais merci, tu en as fais plus que nécessaire, je vais pouvoir finir cet exercice maintenant.


SUJET RESOLU

Posté par
Marc35re : Bille chargée électriquement : travail et énergie. 23-03-11 à 20:43

OK

Posté par
Marc35re : Bille chargée électriquement : travail et énergie. 23-03-11 à 21:23

Sans avoir fait le calcul, j'avais "subodoré" le résultat...
3$mgz_M^2\,-\,\left(\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0z_A}\,+\,mgz_A\right)\,z_M\,+\,\frac{Q\,q}{4\pi\epsilon_0}\,=\,0
On peut voir tout de suite qu'il y a deux racines positives. Donc il faudra trouver un critère de choix ( 0 < zM < zA  sans doute... )

Posté par
Marc35re : Bille chargée électriquement : travail et énergie. 23-03-11 à 21:24

Il y a une autre façon de le faire ...


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