Citation :
On s'intéresse au système mécanique suivant : un point matériel M de masse m est fixé à l'extrémité d'un ressort de longueur à vide l₀ et de constante de raideur k. La masse peut coulisser sans frottement horizontalement sur une tige. On repère la position de la masse m sur cette tige par l'abscisse x dont l'axe est confondu avec la tige, et dont l'origine O est située sur la même verticale que le point d'attache R fixe du ressort.
La tige se trouve à une distance l du point R : OR = l.

1) Initialement le point matériel M se trouve en O et OR = l₀ . Décrire qualitativement ( aucun calcul n'est demandé ) le nombre de positions d'équilibre et la stabilité de celles-ci suivant qu'on rapproche la tige du point R ( c'est-à-dire l < l₀ ) ou qu'on éloigne la tige du point R (l > l₀ ).

2) On considère maintenant OR =  L (quelconque). Déterminer l'énergie potentielle élastique Ep(x) en fonction de k , l₀ , l et x. On prendra Ep(0) = 0.

3) Expliquer dans le cas général où l'énergie potentielle Ep d'un point matériel de masse m ne dépend que d'un seul paramètre (dans
ce problème, il s'agit de x ), quelles sont les conditions sur Ep en un point d'équilibre stable. On dessinera l'allure de Ep(x) pour un équilibre stable et un équilibre instable.

4)Déterminer en utilisant les questions 2 et 3, les positions d'équilibre x_e de la masse m en distinguant les cas l > l₀ et l < l₀. Dans chaque cas, préciser si la position d 'équilibre est stable ou non.

5) On donne k=1Nm^-1, m = 50g, l₀=0.5m.
Pour l=0.4m et l=0.6m, tracer les profils d'énergie potentielle Ep(x), on superposera les deux graphes.

6) Calculer l'énergie mécanique du point M pour les conditions initiales suivantes:
- cas 1: x₀ = 0.2m et v0=0.5m/s
- cas 2: x₀ = 0.2m et v0=0.2m/s

7)Placer ces énergies mécaniques sur les graphes de la q5 en discutant du mouvement de M dans les cas 1 et 2 pour l = 0.4m et l = 0.8m.