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Balle de ping pong
Posté par JaillotJb
Bonjour, voilà, j'ai une balle de ping pong assimilée à une sphère creuse de rayon R, de masse m et de centre G. Comment puis-je calculer son centre d'inertie IG ?
J'ai vu comment procéder sur internet mais je ne suis pas sûr d'avoir compris..
C'est la plus simple, elle utilise les symétries de la sphère.
Comme J_{OX}=J_{Oy}=J_{Oz}=J
on peut affirmer que :
3J = \sigma\int_S (x^2+y^2)\,\mathrm{d}S+\sigma\int_S (z^2+y^2)\,\mathrm{d}S+\sigma\int_S (x^2+z^2)\,\mathrm{d}S=2\sigma\int_S (r^2)\,\mathrm{d}S
où r est la distance du point M à l'origine, qui est constante sur la sphère.
Donc :
3J=2\sigma\int_S (r^2)\,\mathrm{d}S
3J=2\sigma r^2\ (\int_S\,\mathrm{d}S)
3J=2 r^2 \times m
donc :
J=\frac{2mR^2}{3}
Citation :
son centre d'inertie IG ?
son centre d'inertie IG ?
Tu veux sans doute parler de moment d'inertie ?
Un moment d'inertie s'écrit toujours sous la forme générale :
où dm est une masse élémentaire située à la distance r. Évidemment, cette définition est très imprécise : je n'ai pas précisé : r : distance de la masse élémentaire dm à quoi ! Si j'ai commencé ainsi mon message, c'est pour essayé de te faire comprendre à quel point tu est imprécis !
On peut commencer par définir le moment d'inertie de la balle par rapport à son centre, noté IG. La calcul est immédiat : la totalité de la matière est en périphérie : toute la masse est à la distance constante r = R du centre G donc :
On peut aussi s'intéresser au moment d'inertie de la balle par rapport à un diamètre. Il est bien évident que ce moment d'inertie sera le même quel que soit le diamètre choisi. On peut donc choisir comme diamètres les axes Gx, Gy ou Gz.
Soit (x,y,z) les coordonnées de la masse élémentaire dm. r désignant toujours la distance d'une masse élémentaire dm au centre G, on a évidemment :
Le moment d'inertie par rapport au point G est donc :
La distance de la masse élémentaire dm à l'axe Gx est (y2+z2). Cela conduit à :
Par permutations circulaires, on obtient les moments d'inertie par rapport aux deux autres axes :
On remarque alors :
Les moments d'inerties par rapport aux trois axes étant égaux :
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