Bonjour à tous,

J'ai un petit soucis avec un exercice :

On veut propulser un projectile de masse m au dessus d'un mur de hauteur h à un distance 3l du point de lancement (on néglige la résistance de l'air). On cherche la vitesse minimale.

En partant de Newton :

s''*m=g*m

Il me faut intégrer 2 fois pour obtenir l'équation du mouvement :

J'ai comme conditions initiales que s(0)=0 et s'(0)=v.

Ainsi j'obtiens successivement :

s'(t)=g*t+v

puis

s(t)=(g*t^2)/2+v*t

En projetant sur les axes on a :

g=-ge_z(où z est mon axe verticale)

v=v*cos(a)e_x+v*sin(a)e_z (où x est mon axe horizontal)

et finalement

x(t)=v*cos(a)*t (1)

z(t)=v/sin(a)*t-g*t^2/2 (2)

En isolant t dans (1) et en l'injectant dans (2) on obtiens encore :

z(t)=(-g*x(t)^2)/(v^2*cos(a)^2) + tg(a)*x(t) (3)

En remplaçant z(t) par h et x(t) par 3l dans (3), j'isole v0^2 :

v0^2=(9*g*l^2)*(1+T^2)/(6*l*T-2*h) où T=tg(a) et où j'ai remplacé 1/cos(a)^2 par 1+tg(a)^2

Ensuite je dérive par rapport à alpha pour trouvé la valeur de alpha qui minimise la fonction.

J'obtiens tg(a)=(h/3l)+((h^2+9l^2)^0.5)/(3l) qui minimise ma fonction et je trouve finalement V0^2 qui vaut (substitution) :

v^2 = g*(h^2+9l^2)^(1/2)+h*g qui est la réponse attendue.

Ensuite, si on place un second mur de hauteur 2h à une distance l du lancement , on veut trouver un rapport entre let h pour que le projectile passe les deux murs.

J'ai pensé à chercher l'angle (comme en 1) pour lequel on passe le premier mur de hauteur 2h à un distance l. J'obtiens deux valeurs de tg(a). Ensuite avec ces angles on pourrait trouver deux portées et trouver une relation entre h et l. Seulement je n'aboutis jamais à la bonne solution qui est : h/l>(221^(0.5))/6


Enfin, on considère que a (l'angle de tir) vaut 60 deg et on veut que le projectile passe 2 mur de hauteur h, on cherche la distance max (d) qui peut séparer les deux murs pour que le projectile passe.

Pour ce faire , j'ai calculer la hauteur max (un annulant la dérivée de z(t) pour isoler t et l'injecter dans z(t) )

J'obtiens z(t)=(v^2*sin(a)^2)/2*g et si a=60 deg , hmax=3v^2/8g

On sait donc que le problème n'a pas de sens si la hauteur du mur (h) est plus grande que hmax.

Si h=hmax, les deux murs de hauteur h doivent être confondus (d=0)

Si h<hmax:

Pour ce faire,'javais en tête de calculé pdt combien de temps le projectile était plus haut que les 2 murs , pour ensuite trouver la distance sur laquelle le projectile était plus haut de que la hauteur des murs. Cette distance devrait être selon moi, la distance max permise entre les deux mur et donc la réponse au problème.

Je pense avoir un petit soucis avec la mise en équation de mon problème car je n'aboutis jamais au bon résultat.
Je devrais obtenir d=v/(2g)*(3v^2-8gh).

Pourriez-vous me donner un conseil ou m'indiquer une erreur dans mon raisonnement ?

Merci d'avance