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Auto-inductance d'une bobine idéale en N ou en N²?
Bonjour,
D'après le physicien de renom Walter Lewin, on obtient l'équation différentielle d'un circuit RL (où R est une résistance qui inclus la résistance de la bobine et L est une bobine idéale d'une part car sans résistance interne et idéale d'autre part car très longue) en appliquant la loi de Faraday sur la surface qu'entoure tout le circuit.
On a le terme de gauche de la loi qui vaut zéro entre l'entrée et la sortie de la bobine (car dans la bobine),
aux bornes de la résistance, et
aux bornes du générateur. Le terme de droite est égal à
, où
représente le flux du champ magnétique à travers la surface délimitée par tout le circuit.
D'autre part, ce même est égal à
.
Si on suit la logique, devrait être proportionnel à
(le nombre de spires du solénoïde) car le flux impliqué est celui à travers le plan du circuit (donc ne concerne qu'une spire).
En fait, j'ai l'impression que la plupart des manuels (Purcell, "Electricité et Magnétisme", par exemple) partent du principe qu'il est possible de tracer un chemin fermé pour appliquer la loi de Faraday, entre la borne d'entrée du solénoïde et la borne de sortie du solénoïde. L'argument avancé, si j'ai bien compris est qu'il est possible de compléter le chemin entre les deux terminaux du solénoïde par une droite (un chemin droit) reliant les deux terminaux. Mais cela est-t-il vraiment possible?
En vous remerciant d'avance,
Je cherche simplement à comprendre.
Excellente journée.
Bonjour
L'expression de L est proportionnelle à N2.
On sait que L=
p/i
Or le flux propre, à travers les N spires, du moins dans les cas usuels, est de la forme : N.B.S.
Reste le calcul de B.
B est toujours proportionnel à i (loi de Biot et Savart)et, dans les cas usuels, aussi proportionnel à N. Souvent le théorème d'Ampère permet de le justifier.
Le flux propre a donc en général pour expression :
p=k.N2.i
où k dépend de la géométrie de la bobine et du milieu à l'intérieur de la bobine.
Cela conduit donc à L proportionnel à N2.
N'hésite pas à poser des questions complémentaires si tu le juges utile et à proposer des exemples de calculs de L
Bonjour,
La présence de N2 est simple à comprendre :
- le champ magnétique (à longueur donnée) est proportionnel à N
- le flux est le flux dans une spire (proportionnel à B donc à N) multiplié par le nombre de spires N
- donc le flux est en N2
Pour ce qui est de la fermeture du chemin, dès qu'il y a induction, le plus simple est de toujours raisonner sur un circuit fermé et dans ce cas, pas de problème.
Bonjour,
Merci pour vos réponses.
gts2, Lewin raisonne bien sur un circuit fermé (le circuit RL). L'ennui, c'est que la surface qui est à l'intérieur du circuit fermé ne traverse le solénoïde que selon une section (et donc le flux ne prendrait en compte qu'une seule spire).
D'ailleurs, gts2, pourquoi multiplier le flux par N? Cela supposerait que la surface (de la loi de Faraday) est une surface qui s'étend à l'intérieur de tout le solénoïde (en forme "d'épluchure de patate"). Mais si cela était le cas, le contour (du terme de "gauche" dans la loi de Faraday) serait une ligne allant de l'entrée du solénoïde à la sortie du solénoïde. Cette ligne ne serait pas fermée.
J'imagine qu'il doit y avoir quelque chose de faux dans mon raisonnement (puisque le fait que L soit proportionnel à N² a dû être vérifié par des expériences). Mais je n'arrive pas à trouver d'où vient mon erreur.
Pas de problème gts2.
@ niobium : il y a contradiction dans ton raisonnement entre la phrase où tu parles de flux propre à travers tout le circuit et la phrase un peu plus loin où tu évoques une seule spire. Comme déjà écrit, tu peux prendre un exemple précis de bobine, faire un schéma précis et expliquer ton raisonnement.
Re-bonjour,
Merci pour votre réponse.
Je crois comprendre : la surface qu'entoure le circuit est plate en dehors de la bobine mais quand on commence à parcourir le fil de la bobine, la surface est hélicoïdale. Ce n'est pas une question de plan du circuit qui "coupe le solénoïde" mais plutôt un plan qui suit le tout le trajet hélicoïdal du solénoïde.
Merci beaucoup!
Tu soulèves un vrai problème. Un solénoïde est en réalité un circuit hélicoïdal. L'expression usuelle de L suppose le pas de l'hélice très faible de sorte que la théorie assimile l'hélice à une succession de N spires circulaires identiques. On parle de spires jointives.
Autre problème : la diminution de B dans le solénoïde au voisinage des deux extré de longueur l mités... Bref : l'expression classique de L est valide pour une portion de longueur l d'un solénoïde de longueur infinie.
Un des rares circuits dont on peut calculer L sans trop d'approximations est la bobine torique à spires jointives de section rectangulaire.
Oui dans mon cours ils précisent bien que la bobine est très longue.
Comme vous avez pu le voir, c'est un chapitre qui m'a tenu à coeur (j'y ai consacré presque une semaine), j'en sors, mais je l'ai trouvé très intéressant !
Merci et bonne fin d'après-midi 
Tu n'as pas compris la différence entre solénoïde de longueur l très grande devant le rayon des spires et tronçon de longueur l d'un solénoïde infiniment long.
Dans le second cas,on peut considérer le champ magnétique comme rigoureusement uniforme et l'expression de L est exacte.
Dans le premier cas,le champ magnétique n'est uniforme que dans la région centrale. Même avec l très grand devant le rayon,le champ au niveau de la première et de la dernière spire ne vaut que la moitié de celui de la région centrale. Il y a donc une erreur systématique dans l'expression de L.
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