Niveau maths sup

Analyse Dimensionnelle

Posté par
Ejum 08-09-13 à 15:32

Bonjour,
Un exercice me pose problème, je pense ne pas être très loin du résultat mais j'ai quelques difficultés. Voici l'énoncé :

On étudie la formation d'une couche de glace à la surface d'un lac. Le phénomène dépend de la masse volumique de la glace , la conductivité thermique de la glace k qui se mesure en W.m^-1.K^-1, la chaleur latente de fusion l_f qui se mesure en J.kg^-1 et la différence de température T entre l'air et la température de fusion de la glace.

A l'aide d'une analyse dimensionnelle, estimer le temps nécessaire pour former une couche de glace d'épaisseur h = 50 cm par un hiver normand rigoureux.

Données : k = 0.6 W.m^-1.K^-1, l_f = 0.336 J.kg^-1, = 0.9 g.cm^-3.
NB : le watt W est une unité de puissance. 1 W = 1 J.s^-1.

Je cherche donc la formule en me disant qu'on doit trouver un résultat dont la dimension est un temps T.
Je suppose qu'en plus des données déjà présentes, il me faut prendre en compte l'épaisseur de la glace dont la dimension est une longueur L. J'ai réussi à faire annuler plusieurs choses dans ma formule en faisant :

(k*T**h)/(l_f) = T_{nécessaire à la formation d'une couche d'épaisseur h}

Bien sûr, ma formule est fausse puisque je trouve un résultat de dimension M/(TL²) et impossible d'annuler les dimensions M et L² restantes.

Je fais donc appel à vous pour un peu d'aide.
Merci d'avance !

Posté par re : Analyse Dimensionnelle 08-09-13 à 17:46

bonjour,

tu ne peux pas deviner la formule
il faut supposer que t est de la forme:

t = k^a ^b L_f ^c T ^d h ^e

et chercher les exposants a,b,..,e pour que la formule soit homogène

Posté par re : Analyse Dimensionnelle 08-09-13 à 17:47

Je me permets de faire remonter le sujet.

J'ai aussi trouvé une faute un peu bête dans mon calcul, mais ça ne change rien à mon problème. J'ai essayé cette formule :
*l_f*h*(1/T)*(1/k) = T_{nécessaire à la formation d'une couche d'épaisseur h}

Encore une fois, c'est faux. Avec l'analyse dimensionnelle, je tombe sur un résultat dont les dimensions sont cette fois [T]/[L] au lieu de [T] seul.

Merci d'avance.

Posté par re : Analyse Dimensionnelle 08-09-13 à 17:48

nous nous sommes croisés

Posté par re : Analyse Dimensionnelle 08-09-13 à 17:48

Merci beaucoup krinn, je vais essayer comme ça.

Posté par re : Analyse Dimensionnelle 08-09-13 à 17:58

Bonjour,

si on veut obtenir des secondes, il faut mettre $k$ au dénominateur. Pour annuler les joules on met $L_f$ au numérateur. Pour annuler les kelvins on met $\Delta T$ au dénominateur ce qui donne déjà :

$\Large\tau\propto\frac{L_f}{k\Delta T}$ .

On a :

$\Large\left[\frac{L_f}{k\Delta T}\right]=\mathrm{m\cdot s\cdot kg^{-1}}$ .

On met la masse volumique au dénominateur pour supprimer les kg :

$\Large\tau\propto\frac{\rho L_f}{k\Delta T}$

et on a :

$\Large\left[\frac{\rho L_f}{k\Delta T}\right]=\mathrm{m^{-2}\cdot s }$

Dès lors en mettant $h^2$ au numérateur on s'affranchit des mètres carrés :

$\blue\Large\boxed{\tau\approx\frac{\rho h^2 L_f}{k\Delta T}}$