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Analyse dimensionelle
Bonjour à tous,
Pourriez-vous m'éclairer pour ce devoir maison que je dois rendre demain (donné ce samedi..). Je reste bloqué à la première question. Merci d'avance
Une poutre est un parallélépipède de longueur L, largeur b et d'épaisseur e. La raideur de cette poutre k, dépend à priori des paramètres géométriques et du module d'Young E. On propose donc une formulation de k comme suit : k = a.E.L^α.b^β.e^γ
Les constantes α, β et γ sont à déterminer, et a est sans dimension,de valeur proche de 1.
Si une force ⃗F de norme F est exercée à l'extrémité du levier, il se déforme et on note z(x) sa déflexion. On suppose la déformation est faible devant 1. Alors, la raideur k du levier flexible est telle que : F = k z(L)
1) Sachant que si la largeur du levier est doublée, la force F doit être doublée pour maintenir la même
déflexion, que vaut β ?
2) Nous cherchons à présent à déterminer α. En première approximation, on peut considérer que le profil
de la poutre déformée est parabolique. La déflexion s'écrit alors : z(x) = C x²
avec C un paramètre positif proportionnel au moment de la force ⃗F par rapport à O. Si la longueur L du levier est doublée, la force
F étant maintenue constante, par quel facteur est multipliée la déflexion à l'extrémité du levier ? En déduire la valeur de α.
3) Déterminer par analyse dimensionnelle la valeur de γ.
Bonjour,
selon la formule générale, multiplier b par 2 multiplie k par 2
. Or F est multiplié par 2 ; donc ???
Propose tes solutions et précise tes éventuelles incompréhensions ; ce sera plus facile de t'aider ensuite.
Merci pour votre réponse,
Je sais que [F] = MLT^(-2) et que [k]=[F]/[L]=MT^(-2). Mais je ne comprend pas comment en déduire β, puisque il me reste deux inconnues dans k...
Je suppose que je dois trouver α=-1 β=1 et γ=1 pour retomber sur la formule de la raideur mécanique k=AE/L (avec A=b.e) ?
selon la formule générale, multiplier b par 2 multiplie k par 2. Or F est multiplié par 2 ; donc ???
Je viens de t'expliquer que : 2
=2 et tu ne trouves pas ???Ah oui effectivement Bêta=1, merci...
Pour la question 2, j'ai supposé que z(x)=k puisque z(x) correspond à la deflexion de la poutre, est-ce juste ?
On t'explique que si L est multiplié par 2 , z est multiplié par 4 alors que F est inchangé... Que vaut 
???
La suite est de l'analyse dimensionnelle classique.
Imagine une poutre dont une extrémité est encastrée dans un mur. La poutre à l'équilibre est pratiquement horizontale (en réalité elle se déforme sous l'action de son propre poids mais cela est négligée). Si on exerce à l'extrémité libre une force verticale descendante, la poutre se déforme et on note z le déplacement vers le bas obtenu à l'équilibre ; plus la poutre est longue, toutes choses égales par ailleurs, plus z est grand :
relie bien mon message précédent : si F est inchangé et si L est multiplié par 2 alors z est multiplié par 4...
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