Bonsoir
quelques pistes qui devraient te permettre de t'en sortir seule :
1° : Pour l'ampli op de gauche : V_E+=V_E-
or : V_E+ s'exprime simplement en fonction de E,Ro et i1 et V_E- s'exprime simplement en fonction de Ro et i3.
2° En notant S la sortie de l'ampli op de gauche :
V_E+-V_S=V_E- - V_S
Le terme de droite s'exprime simplement en fonction de Ro et i3 ; le terme de gauche s'exprime simplement en fonction de Ro, i1, i2...
3° pour l'ampli op de droite : U_s=V_E+=V_E-. De plus : le courant d'entrée en E- est nul. Cela conduit à une relation simple entre les intensités des courants traversant R1 et R2.
Je te laisse réfléchir à tout cela et proposer des réponses...

salut vanoise désolée pour le retard j'étais hors ligne
merci pour les indications alors j'essaye
1) v_E+= E +2R₀ i₁
v_E-= 2R₀i₃
donc i₃= E/ 2R₀+i₁
2) la relation donne R₀i₁-R₀i₂=2R₀i₃ donc i₂= i₁-2i₃
3) je comprends pas pourquoi E est nulle

Bonsoir
1) tu commets des erreurs de signes. As-tu bien compris les orientations récepteur et générateur d'un dipôle ? As-tu bien compris quand la loi d'Ohm peut s'écrire U=R.I et quand elle peut s'écrire U=-R.I ?
Si nécessaire, un peu d'aide ici :
2) OK pour la loi des nœuds et le résultat que tu obtiens.
3)

vanoise D'accord je rectifie pour 1) i₃=-E/2R₀+i₁
3) pourquoi les sens sont opposés
comment ça servirait pour exprimer u_m en fct de u_s R1  R2  et u_p
merci

"pourquoi les sens sont opposés "

Cela ne veut rien dire tant qu'on n'a pas indiqué (par des flèches) les sens des courants sur le schéma.

Calcule (pour l'ampli de droite) l'expression de V- (en fonction de Um et de Up et de R1 et R2) ... en se rappelant, comme on te l'a dit, que le courant dans l'entrée - de l'ampli est nulle.

Et comme on a V+ = Us

Et que V- = V+, alors ...

Relis bien ce que j'ai écris dans mon message du 09-04-18 à 21:37 et pour les intensités des courants : jette un coup d'œil au schéma annoté ci dessous !

D'accord avec ta rectification concernant la question 1.
Pour 3 : Relis bien ce que j'ai écris dans mon message du 09-04-18 à 21:37 et pour les intensités des courants : jette un coup d'œil au schéma annoté . Tu peux facilement exprimer R₁.I en fonction de U_s et U_m et exprimer R₂.I en fonction de U_p et U_s. Pour finir : une division "membre à membre " pour faire disparaître I du calcul...

OK par loi des maille u_s-R1 i-u_m=0
Et u_s-R2 i -u_p=0
Ou bien
Par millmann
V-=(u_R1/R1+u_m+u_p)/1/R1+1/R2 c'est ça

Il y a très simple puisque, pour l'ampli op de droite :

,
la loi d'Ohm appliquée à R1 et à R2 conduit à :





Division « membre à membre » ou tout autre méthode  permettant d'éliminer i du calcul :



Tu devrais t'en sortir maintenant...

Complément : il est effectivement possible d'appliquer le théorème de Millman à l'entrée non inverseuse dont le potentiel est U_s mais l'expression que tu fournis est incorrecte car non homogène (même en rajoutant des parenthèses) :


On obtient heureusement le même résultat mais un peu plus rapidement.

Attention que ce montage est "piégeux".

La tension Up sur le curseur du potentiomètre n'est pas fournie en basse impédance ...
et donc, pour une position donnée du curseur (autre qu'une des 2 butées), la tension Up varie avec Us

Cela n'empêche pas de répondre aux questions telles qu'elles sont posées, mais pourrait bien être un soucis sur le but final de ce montage (pas précisé dans l'énoncé).